Loading AI tools
שמם המשותף של כמה ממדים של חוגים, המתלכדים עבור חוג נתרי קומוטטיבי מוויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה, ממד קרול הוא שמם המשותף של כמה ממדים של חוגים, המתלכדים עבור חוג נתרי קומוטטיבי. ממדים אלו קרויים על שמו של וולפגנג קרול, שפיתח את ממד קרול הקטן.
ממד קרול הקטן הוא המספר המקסימלי של הכלות בשרשרת עולה של אידיאלים ראשוניים. באלגברה קומוטטיבית ובגאומטריה אלגברית, ממד זה של חוג הפונקציות על יריעה מספק הגדרה אלגברית לממד הגאומטרי שלה. לכל אלגברה אפינית קומוטטיבית יש ממד סופי, וחוגים בעלי ממד סופי חולקים עם האלגברות האפיניות כמה תכונות חשובות. לחוג ארטיני קומוטטיבי יש ממד אפס.
נניח כי הוא חוג, וכי הם אידיאלים ראשוניים ב-, כך ש-. אז נאמר שאידיאלים ראשוניים אלו יוצרים שרשרת באורך . ממד קרול הקטן של הוא החסם העליון של כל אורכי השרשראות של אידיאלים ראשוניים, והוא סופי או שווה לאינסוף. מסמנים אותו ב-.
לדוגמה, האידיאלים הראשוניים היחידים בחוג המספרים השלמים הם אידיאלים ראשיים מהצורה כאשר מספר ראשוני, וכן אידיאל האפס. כמו כן, אף אידיאל ראשוני (מלבד אידיאל האפס) אינו מוכל באידיאל ראשוני אחר, ולפיכך השרשרת העולה המקסימלית של אידיאלים ראשוניים היא השרשרת . לפיכך ממד קרול של חוג המספרים השלמים הוא 1. בדומה לזה, ממד קרול של כל תחום ראשי הוא 1. האידיאל הראשוני היחיד בשדה הוא אידיאל האפס, לכן ממד קרול של כל שדה הוא 0.
לכל אידיאל ראשוני בחוג PI נתרי יש גובה סופי (אך ממד קרול הקטן של חוג כזה עשוי להיות אינסופי).
במקרה הכללי , ואלו החסמים הטובים ביותר האפשריים על הממד של חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל . לעומת זאת אם הוא חוג נתרי מממד , אז ממד קרול הקטן של הוא בדיוק . בהמשך לזה, אם שדה, אז ממד קרול של החוג הוא בדיוק .
ממד קרול הקלאסי עדין יותר. נאמר שאידיאלים מקסימליים הם בעלי עומק 0, ושלאידיאל ראשוני יש עומק (כאשר סודר) אם לכל ראשוני המכיל ממש את יש עומק קטן מ-. ממד קרול הקלאסי הוא הסודר המינימלי המהווה עומק של כל הראשוניים בחוג. מסמנים אותו . לחוג יש ממד קרול קלאסי אם ורק אם הוא מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים.
ממד קרול (סתמי) מוגדר עבור מודולים מעל חוג . למודול האפס ממד 1-. ממד קרול שווה לסודר אם הוא אינו קטן מ-, ואם לכל שרשרת יורדת , ממקום מסוים ואילך, . בפרט, למודול (שאינו אפס) יש ממד 0 אם ורק אם הוא ארטיני; למודול (שאינו ארטיני) יש ממד 1 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות ארטיניות החל ממקום כלשהו, למודול יש ממד 2 אם ורק אם בכל שרשרת יורדת המנות הן מממד 1 או 0 החל ממקום כלשהו.
למודול נתרי יש ממד קרול (אבל לא לכל מודול). ממד קרול של החוג הוא הממד שלו כמודול מעל עצמו, אם הוא קיים. בפרט, לכל חוג נתרי יש ממד קרול. כל סודר יכול להיות ממד קרול של חוג נתרי קומוטטיבי, וממד קרול של תחום ראשי שמאלי.
אם לחוג יש ממד קרול, אז מוכרח להיות נתרי; ולכל נתרי, .
כל חוג בעל ממד קרול מקיים את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים. בחוג שיש לו ממד קרול, כל אידיאל מכיל מכפלה של מספר סופי של ראשוניים (זוהי תכונה חשובה של חוגים נתריים). בחוג שיש לו ממד קרול מתקיים אי-השוויון . בחוג קומוטטיבי מתלכדים ממד קרול וממד קרול הקלאסי, ואם הממד סופי (והחוג קומוטטיבי) הם שווים גם לממד קרול הקטן.
לחוג שיש לו ממד קרול יש ממד יוניפורמי סופי; חוג חוג ראשוני למחצה שיש לו ממד קרול (שמאלי) הוא חוג גולדי (שמאלי).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.