במתמטיקה , פונקציות היפרבוליות אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות: בעוד שהנקודות
(
cos
(
t
)
,
sin
(
t
)
)
{\displaystyle \ \left(\cos \left(t\right),\sin \left(t\right)\right)}
מעגל , הנקודות
(
cosh
(
t
)
,
sinh
(
t
)
)
{\displaystyle \ \left(\cosh \left(t\right),\sinh \left(t\right)\right)}
היפרבולה
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1}
פרמטר
t
{\displaystyle \ t}
זווית היפרבולית המייצגת את כפליים השטח בין ציר ה־X, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על העקום לעיל, כפי שמתואר באיור משמאל.
גרפי הפונקציות ההיפרבוליות נראות כך:
סינוס היפרבולי (sinh) , קוסינוס היפרבולי (cosh) וטנגנס היפרבולי (tanh) קוסקאנט היפרבולי (csch) , סקאנט היפרבולי (sech) וקוטנגנס היפרבולי ( coth ) בהינתן
i
2
=
−
1
{\displaystyle \ i^{2}=-1}
מספרים מרוכבים ) הפונקציות ההיפרבוליות הן:
סינוס היפרבולי :
sinh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
2
=
−
i
sin
(
i
x
)
{\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin(ix)}
קוסינוס היפרבולי :
cosh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
2
=
cos
(
i
x
)
{\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos(ix)}
טנגנס היפרבולי :
tanh
(
x
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
−
i
tan
(
i
x
)
{\displaystyle \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=-i\tan(ix)}
קוטנגנס היפרבולי :
coth
(
x
)
=
cosh
(
x
)
sinh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
i
cot
(
i
x
)
{\displaystyle \coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=i\cot(ix)}
סקאנט היפרבולי :
sech
(
x
)
=
1
cosh
(
x
)
=
2
e
x
+
e
−
x
=
sec
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} (x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec(ix)}
קוסקאנט היפרבולי :
csch
(
x
)
=
1
sinh
(
x
)
=
2
e
x
−
e
−
x
=
i
csc
(
i
x
)
{\displaystyle \operatorname {csch} (x)={\frac {1}{\sinh(x)}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\csc(ix)}
ניתן להביע את הפונקציות ההיפרבוליות כטורים :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
2
n
B
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
E
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
כאשר:
B
n
{\displaystyle \ B_{n}}
מספר ברנולי ה-n־י
E
n
{\displaystyle \ E_{n}}
מספר אוילר ה-n־י.
מימין העקום הפרמטרי
(
sin
(
t
)
,
cos
(
t
)
)
{\displaystyle \ (\sin(t),\cos(t))}
(
sinh
(
t
)
,
cosh
(
t
)
)
{\displaystyle \ (\sinh(t),\cosh(t))}
−
π
<
t
<
π
{\displaystyle \ -\pi <t<\pi }
היפרבולה . כשם שהנקודות
(
cos
t
,
sin
t
)
{\displaystyle (\cos t,\sin t)}
מעגל , הנקודות
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}
היפרבולה
x
2
−
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}
cosh
2
(
t
)
−
sinh
2
(
t
)
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}(t)-\sinh ^{2}(t)=1}
cosh
(
t
)
>
0
{\displaystyle \cosh(t)>0}
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
זווית מעגלית, אלא זווית היפרבולית שמייצגת את פעמיים השטח בין ציר ה-x, ההיפרבולה, והקו הישר שמחבר את ראשית הצירים לנקודה על ההיפרבולה
(
cosh
t
,
sinh
t
)
{\displaystyle (\cosh t,\sinh t)}
למרות זאת, הפונקציות ההיפרבוליות אינן פונקציות מחזוריות , בניגוד לפונקציות הטריגונומטריות הרגילות, שכן בהצגתן המעריכית של הפונקציות הטריגונומטריות הרגילות ישנו חלק מעריכי מרוכב אשר תורם למחזוריות הפונקציה, אך נעדר מן הפונקציות ההיפרבוליות.
ההצגות המעריכיות של הפונקציות ההיפרבוליות והרגילות הן דומות, פרט, כאמור, לקיומו של החלק המרוכב בפונקציות הטריגונומטריות הרגילות. כך, למשל, פונקציית הסינוס מוגדרת כך:
sin
(
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \ \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
sinh
(
x
)
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
cos
x
{\displaystyle \ \cos x}
cosh
x
{\displaystyle \ \cosh x}
פונקציה זוגית (סימטרית סביב ציר Y)ו־cosh 0=1. באופן דומה, הן הפונקציה
sin
x
{\displaystyle \ \sin x}
sinh
x
{\displaystyle \ \sinh x}
פונקציות אי זוגית (סימטרית סביב ראשית הצירים) ו
sinh
0
=
0
{\displaystyle \ \sinh 0=0}
זהויות טריגונומטריות . למעשה, חוק אוסבורן מראה שניתן להמיר כל זהות טריגונומטרית לזהות היפרבולית, על ידי החלפת סינוס בסינוס היפרבולי, קוסינוס בקוסינוס היפרבולי, והפיכת הסימן של כל מונום שיש בו מכפלה של שני סינוסים היפרבוליים. לדוגמה:
cosh
2
(
x
)
=
1
+
cosh
(
2
x
)
2
⇒
cos
2
(
x
)
=
1
+
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \cosh ^{2}(x)={\frac {1+\cosh(2x)}{2}}\Rightarrow \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}}
sinh
2
(
x
)
=
cosh
(
2
x
)
−
1
2
⇒
sin
2
(
x
)
=
1
−
cos
(
2
x
)
2
{\displaystyle \sinh ^{2}(x)={\frac {\cosh(2x)-1}{2}}\Rightarrow \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}}
sinh
(
x
+
y
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
cosh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\,}
⇒
sin
(
x
+
y
)
=
sin
(
x
)
cos
(
y
)
+
cos
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \Rightarrow \sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)\,}
cosh
(
x
+
y
)
=
cosh
(
x
)
cosh
(
y
)
+
sinh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)\,}
⇒
cos
(
x
+
y
)
=
cos
(
x
)
cos
(
y
)
−
sin
(
x
)
sin
(
y
)
{\displaystyle \Rightarrow \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,}
sinh
(
x
−
y
)
=
sinh
(
x
)
cosh
(
y
)
−
cosh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \sinh(x-y)\ =\sinh(x)\cosh(y)\ -\cosh(x)\sinh(y)\,}
cosh
(
x
−
y
)
=
cosh
(
x
)
cosh
(
y
)
−
sinh
(
x
)
sinh
(
y
)
{\displaystyle \cosh(x-y)\ =\cosh(x)\cosh(y)\ -\sinh(x)\sinh(y)\,}
tanh
(
x
+
y
)
=
tanh
(
x
)
+
tanh
(
y
)
1
+
tanh
(
x
)
tanh
(
y
)
{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}\,}
tanh
(
x
−
y
)
=
tanh
(
x
)
−
tanh
(
y
)
1
−
tanh
(
x
)
tanh
(
y
)
{\displaystyle \tanh(x-y)={\frac {\tanh(x)-\tanh(y)}{1-\tanh(x)\tanh(y)}}\,}
ניתן להביע את הפונקציות ההפוכות לפונקציות ההיפרבוליות כטורים:
arsinh
(
x
)
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arsinh} (x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arcosh
(
x
)
=
ln
2
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcosh} (x)=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1}
artanh
(
x
)
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {artanh} (x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arcsch
(
x
)
=
arsinh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1
{\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)=\operatorname {arsinh} (x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
arsech
(
x
)
=
arcosh
(
x
−
1
)
=
ln
2
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
−
∑
n
=
1
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
(
2
n
)
,
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {arsech} (x)=\operatorname {arcosh} (x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=\ln 2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1}
arcoth
(
x
)
=
artanh
(
x
−
1
)
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} (x)=\operatorname {artanh} (x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}
הפונקציות ההיפרבוליות מופיעות בבעיות רבות בתחומי המתמטיקה והפיזיקה, בהן מעורב אינטגרל המכיל את הביטוי :
1
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
:
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
דוגמות:
d
d
x
sinh
x
=
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\sinh x=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
d
d
x
cosh
x
=
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
d
d
x
tanh
x
=
sech
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}\,x}
d
d
x
sech
x
=
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {sech} \,x=-\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
d
d
x
coth
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {coth} \,x=-\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
d
d
x
csch
x
=
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} \,x=-\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
d
d
x
arsinh
x
=
1
x
2
+
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsinh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
d
d
x
arcosh
x
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcosh} \,x={1 \over {\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
artanh
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {artanh} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arsech} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
d
d
x
arcoth
x
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcoth} \,x={1 \over 1-x^{2}}}
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
1
+
x
2
{\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{1 \over x{\sqrt {1+x^{2}}}}}
ערך מורחב – פונקציות היפרבוליות הפוכות
פונקציות מעריכיות, דף שער בספרייה הלאומית
