פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר ${\displaystyle \ x=0}$ (כלומר לציר ה-${\displaystyle Y}$).

מקור השם

המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727,^[1] והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814.^[2] הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ היא פונקציה זוגית כאשר ${\displaystyle n}$ זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר ${\displaystyle n}$ אי-זוגי.^[3][4]

פונקציה זוגית

הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר ${\displaystyle \ f(x)=f(-x)}$.

סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה-${\displaystyle Y}$.

דוגמאות של פונקציות זוגיות:

• 
  ${\displaystyle \ f(x)=a}$
  פונקציה קבועה
• 
  ${\displaystyle \ f(x)=x^{2}}$
  פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)
• 
  ${\displaystyle \ f(x)=\cos(x)}$
  קוסינוס
• 
  ${\displaystyle \ f(x)=|x|}$
  ערך מוחלט

פונקציה אי-זוגית

הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר ${\displaystyle \ f(-x)=-f(x)}$.

סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה-${\displaystyle X}$ (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של ${\displaystyle 180^{\circ }}$ סביב לראשית).

דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:

• 
  ${\displaystyle \ f(x)=x}$
  פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)
• 
  ${\displaystyle \ f(x)=x^{3}}$
  חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)
• 
  ${\displaystyle \ f(x)=\sin(x)}$
  סינוס
• 
  ${\displaystyle f(x)={1 \over x}}$
  מספר הופכי

פונקציה כללית

ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית: ${\displaystyle \ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)}$

וזאת כאשר: ${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={f(x)+f(-x) \over 2}}$ ו ${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f(-x) \over 2}}$

יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית).

לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא:
${\displaystyle f_{\text{even}}(x)={f(x)+f^{*}(-x) \over 2}}$ ו-${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f^{*}(-x) \over 2}}$
או:
${\displaystyle f_{\text{even}}(x)=f_{\text{even}}^{*}(-x)}$ ו-${\displaystyle f_{\text{odd}}(x)=-f_{\text{odd}}^{*}(-x)}$

בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה.

תכונות

• סכום פונקציות:
  • סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ-${\displaystyle L^{1}}$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס).
  • סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ-${\displaystyle L^{1}}$ לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס).
• מכפלת פונקציות:
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.
• חלוקת פונקציות:
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית.

באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה ${\displaystyle x^{-1}}$ היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי.

• הרכבת פונקציות:
  • הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית.
  • הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית.
  • הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית.
• גזירת פונקציה:
  • נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס).
  • נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית.

הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה ${\displaystyle x_{0}}$, היא הגבול ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0})}$.

ניתן להגדיר את ${\displaystyle \Delta x}$ כ-${\displaystyle x-{x_{0}}}$ ואת ${\displaystyle \Delta y}$ כ-${\displaystyle f(x)-f(x_{0})}$

כעת נציב בגבול: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}$. נראה שאם נחליף את הסימן של ${\displaystyle x}$ ושל ${\displaystyle x_{0}}$ נקבל לפונקציה זוגית, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{(-x)-(-x_{0})}}}$ כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {(-f(x))-(-f(x_{0}))}{(-x)-(-x_{0})}}}$ כלומר שסימן הגבול נשמר.

• אינטגרל של פונקציה:
  • כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית.
  • לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס.
  • האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי.
• תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה ${\displaystyle x=0}$ חייבת לקיים ${\displaystyle \ f(0)=0}$.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: פונקציה אי זוגית
ערך מילוני בוויקימילון: פונקציה זוגית

הערות שוליים

1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics – "ראשית יש לציין את אותן פונקציות, שאני קורא להן זוגיות, שיש להן התכונה שהן אינן משתנות כאשר במקום x מציבים -x".
2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics,
   Thomas Leybourn, New Series of The Mathematical Repository, Volume 3, עמוד 61 (קריאת הספר בתצוגה מלאה באתר "גוגל ספרים" )
3. Even and Odd Functions and Function Symmetry, באתר ck-12.org
4. Even and Odd Functions, באתר Tree of Math