מצב קוונטי

מצב קוונטי הוא אוסף פרמטרים של מערכת במכניקת הקוונטים. ישנן מספר דרכים מתמטיות ליצג מצב קוונטי, כשנפוצות ביותר הן פונקציית גל, וקטור מצב ומטריצת צפיפות, ומספר דרכים לרשום אותו כשהדרך הנפוצה ביותר היא סימון דיראק: ${\displaystyle |\psi \rangle }$. עקב התכונות הייחודיות של מכניקת הקוונטים, מצב של מערכת קוונטית שונה מבחינות רבות ממערכת קלאסית. לדוגמה, עקרון הסופרפוזיציה הקוונטית קובע שמצב קוונטי יכול להיות צירוף של מספר מצבים קוונטיים אחרים בו-זמנית.

משמעות המושג

המצב הקוונטי נותן תיאור מלא של כל המשתנים הדינמיים של מערכת, כשכל האפיונים הקבועים שלה נתונים. לדוגמה, המצב של חלקיק יתאר את מיקומו ואת התנע שלו בהנחה שמסתו ידועה. במכניקת הקוונטים כל מידע (על המשתנים הדינמיים) נמצא במצב הקוונטי, אך ידיעת המצב אינה בהכרח מאפשרת ליחס ערך ודאי למשתנים אלו, בשל עקרון האי-ודאות. קביעה זו נובעת מהתיאור של מכניקת הקוונטים את המציאות. בתיאור זה משתנה של מערכת יכול להיות בסופרפוזיציה של ערכים ואין משמעות הדבר שיש לו את אחד הערכים אך הוא לא ידוע. לדוגמה חלקיק הנמצא בסופרפוזיציה של מיקומים שונים אינו שקול לחלקיק הנמצא באחד מהמיקומים אך איננו יודעים באיזה.

מדידות

ערך מורחב – בעיית המדידה

מצב קוונטי משמש לניבוי והסבר של תופעות פיזיקליות רבות הנצפות בניסויים. הקשר בין המצב לתוצאות המדידות נתון על ידי חוק בורן, שנותן את ההסתברות לתוצאה מסוימת לפי המצב הקוונטי. כלומר, אם משתנה כלשהו נמצא בסופרפוזיציה של ערכים שונים, לא ניתן לדעת מה יהיה הערך שיתקבל כשהוא ימדד, אלא רק את הסיכוי לקבל כל ערך. מכך גם נובע שלא ניתן למדוד את המצב הקוונטי ישירות, כלומר, אין דרך לחלץ את כל המידע על מצבה של מערכת בודדת.

משתנים חבויים

ערך מורחב – תאוריות משתנים חבויים

טִבעה החדשני של מכניקת הקוונטים הניע פיזיקאים לחשוב שקיים מידע נוסף שאינו נכלל במצב הקוונטי. סוג זה של מידע נקרא משתנים חבויים. ההנחה היא שישנו תיאור בסיסי יותר של המערכת באמצעות משתנים אחרים האומר מהו המצב האמיתי וממנו יהיה ניתן להסיק בוודאות את תוצאות כל מדידה. בגישה זאת, המצב הקוונטי הוא רק תיאור אפקטיבי הנובע מכך שאיננו יודעים את המשתנים החבויים ואת החוקים המנחים אותם. בעקבות משפט בל התברר שכדי שמשתנים חבויים יתאימו לתורת הקוונטים הם אינם יכולים לקיים את עקרון המקומיות.

הצגה וסימונים

כדי לתאר מערכת צריך אוסף מספרים לפי כמות דרגות החופש של המערכת, כך שכל אוסף כזה יכול לייצג את המצב הקוונטי. דוגמאות לאוספים כאלו המסודרים במבנה מתמטי הן וקטור מצב, פונקציית גל, מטריצת צפיפות, שתי הזוויות של כדור בלוך או שני מספרים, m ו-l, המציינים את התנע הזוויתי.

פעמים רבות כתיבת המספרים, גם בצורת משתנים או וקטור, היא מסורבלת ואינה תורמת להבנת הרעיון או החישוב הנידונים ולכן סימון דיראק, המיצג מצב קוונטי כללי ללא פרטים שאינם נחוצים, הוא שימושי למדי. סימון זה גם תואם את הפורמליזם הנפוץ של מכניקת הקוונטים.

מצבי בסיס

ניתן לבטא כל מצב קוונטי ${\displaystyle |\psi \rangle }$ כצירוף ליניארי (סופרפוזיציה) של מצבי בסיס ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|k_{i}\rangle }$

כאשר ${\displaystyle c_{i}}$ הם הקבועים המייצגים את המשרעת (האמפליטודה), וריבוע הערך המוחלט של האמפליטודה, ${\displaystyle \left|c_{j}\right|^{2}}$ הוא ההסתברות שבמדידה בבסיס ${\displaystyle |k_{i}\rangle }$ המערכת תימצא במצב${\displaystyle k_{j}}$.

תנאי הנירמול של פונציית הגל מכתיב שסך ההסתברויות יהיה שווה 1:

${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1}$.

בסיס פשוט להבנה הוא הבסיס העולה מחקר מתנדים הרמוניים קוונטיים. במערכת זו לכל מצב בסיס ${\displaystyle |n\rangle }$ יש אנרגיה

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\right)}$.

את שאר מצבי הבסיס ניתן לקבל על ידי אופרטורי יצירה והשמדה (אנ') (מסומנים כ־${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ו־${\displaystyle {\hat {a}}}$, בהתאמה):

${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle =c_{n,n+1}|n+1\rangle ,\quad a|n\rangle =c_{n,n-1}|n-1\rangle }$

כאשר ${\displaystyle c_{n,n\pm 1}}$ הם קבועים המשמשים לנירמול.

מצבים עצמיים

מצב עצמי הוא מצב של המערכת שאינו משתנה תחת הפעלת אופרטור מסוים. בניסוח אלגברי, מצב עצמי הוא וקטור עצמי של האופרטור. המצבים העצמיים של אופרטור הרמיטי מהווים בסיס שלם, כך שאפשר לפרוס כל מצב של המערכת בעזרת צירוף ליניארי שלהם.^[1]

הגדרה פורמלית

בהינתן אופרטור ${\displaystyle {\hat {A}}}$, המצב ${\displaystyle |\psi \rangle \neq 0}$ יקרא מצב עצמי של ${\displaystyle {\hat {A}}}$ אם קיים מספר מרוכב ${\displaystyle \lambda }$ כך ש:

${\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle =\lambda |\psi \rangle }$

המספר המרוכב ${\displaystyle \lambda }$ נקרא ערך עצמי של ${\displaystyle {\hat {A}}}$.

עבור אופרטור הרמיטי מתקיים כי הערכים עצמיים ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ממשיים וכל המצבים העצמיים ${\displaystyle |i\rangle }$ של האופרטור ההרמיטי מהווים בסיס אורתונורמלי ושלם.

דוגמאות

משוואת שרדינגר היא משוואה שבאמצעותה ניתן למצוא את המצבים העצמיים של אופרטור האנרגיה (ההמילטוניאן). פתרונות המשוואה הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן, והם מצבים שאינם משתנים בזמן, כלומר מצבים יציבים, והערכים העצמיים של האופרטור הם ספקטרום האנרגיה של מצבי המערכת.

דוגמה אחרת היא אופרטור מדידת התנע הזוויתי. המצבים העצמיים שלו הם הפתרונות של מצבים שאינם משתנים לאחר סיבוב, כלומר מצבים בעלי סימטריה כדורית, ונקראים הרמוניות ספריות (כדוריות).

במודל אטום המימן, האורביטלים (הקליפות האלקטרוניות) הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן ושל אופרטור התנע הזוויתי (מכיוון שהוא איזוטרופי, כלומר סימטרי לסיבובים).

מצבים טהורים ומעורבים

מצב טהור הוא מצב שניתן לתיאור כווקטור יחיד או כסכום של וקטורי בסיס. מצב מעורב הוא מצב המורכב מהתפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב שאינו סופרפוזיציה של מצבי בסיס, אלא שהוא אחד מתוך התפלגות סטטיסטית של מצבים.

התוחלת ${\displaystyle \langle a\rangle }$ של גודל מדיד ${\displaystyle A}$ עבור מערכת במצב טהור ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ניתן על ידי

$${\displaystyle \langle a\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle =\sum _{i}a_{i}\langle \psi |\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|\psi \rangle =\sum _{i}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi \rangle |^{2}=\sum _{i}a_{i}P(\alpha _{i})}$$

כאשר ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$ הם מצבים עצמיים של האופרטור ${\displaystyle A}$, ו-${\displaystyle P(\alpha _{i})}$ היא ההסתברות שבמדידת מערכת במצב ${\displaystyle |\psi \rangle }$, תוצאת המדידה תהא ${\displaystyle a_{i}}$ והמערכת תהא במצב ${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle }$.

כדי לתאר התפלגות סטטיסטית של מצבים טהורים, כלומר מצב מעורב, יש להשתמש במטריצת צפיפות, ${\displaystyle \rho }$. בכך מורחבת מכניקה קוונטית למכניקה סטטיסטית קוונטית. מטריצת צפיפות מוגדרת כך:

$${\displaystyle \ \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$$

כאשר ${\displaystyle p_{s}}$ הוא שבר של כל צבר במצב ${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$. הממוצע מעל הצבר של מדידת הגודל ${\displaystyle A}$ על המערכת במצב מעורב הוא:

$${\displaystyle \left[A\right]=\langle {\overline {A}}\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=tr(\rho A)}$$

מתרחשים כאן שני סוגי ממוצעים – האחד הוא הממוצע מעל הבסיס הווקטורי של המצבים הטהורים, והשני הוא הממוצע הסטטיסטי מעל הצבר של המצבים הטהורים.

ראו גם

• מכניקה קוונטית
• מתנד הרמוני קוונטי
• סימון דיראק
• בסיס אורתונורמלי
• פונקציית גל
• אמפליטודה
• מטריצת צפיפות
• קיוביט

קישורים חיצוניים

• Eigenstates and eigenvalues in Quantum Mechanics: An intermediate level course, Prof. Richard Fitzpatrick, University of Texas, Austin
• הרצאה של אהרון או'קונל

הערות שוליים

1. R. Fitzpatrick, Quantum Mechanics course