וקטור מצב (קוונטים)

במכניקה קוונטית, וקטור מצב הוא וקטור במרחב הילברט המיצג את המצב של מערכת פיזיקלית, כשמספר דרגות החופש^[1] של המערכת הוא הממד של הווקטור. הדרך הנפוצה ביותר לכתוב את וקטור המצב היא באמצעות סימון דיראק: ${\displaystyle |\psi \rangle }$.

פונקציית גל משמשת גם היא לתיאור מצב קוונטי ויש חפיפה רבה במשמעות שני המונחים.

פורמליזם

מושגים מאלגברה ליניארית

דרכי החישוב באמצעות וקטור מצב מבוססות על אלגברה ליניארית וללא ידע מוקדם בתחום זה, הבנת הפורמליזם תהיה קשה למדי. רבים מהמושגים המופשטים של האלגברה הליניארית מקבלים משמעות פיזיקלית כשווקטור המצב תואם את ההגדרה המתמטית של וקטור אך שונה מבחינות רבות מווקטור פיזיקלי. מרחב הילברט של הווקטור, המיצג את דרגות החופש של המערכת, הוא מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית ומרחב דואלי שבו וקטור מסומן כ־${\displaystyle \langle \psi |}$. כל משתנה שנוכל למדוד על המערכת מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. משוואת שרדינגר המתארת את התפתחות הווקטור בזמן היא מערכת משוואות ליניאריות, וההמילטוניאן גם הוא אופרטור הרמיטי שליכסונו ומציאת ההווקטורים העצמיים שלו מהווה לרוב חלק גדול מפתרון בעיות. אופרטור אוניטרי נותן את ההתפתחות עצמה. סופרפוזיציה של מצבים היא צירוף ליניארי של וקטורים כשהנורמה של כל וקטור המיצג מצב פיזיקלי חייבת להיות שווה אחד.

מדידות

אם מערכת נמצאת במצב ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ההסתברות שנמצא אותה במצב ${\displaystyle |\chi \rangle }$ נתונה על ידי הערך המוחלט של המכפלה הפנימית בריבוע: ${\displaystyle |\langle \psi |\chi \rangle |^{2}}$ וערך התצפית של משתנה מדיד ${\displaystyle \ M}$ נתון על ידי ${\displaystyle \langle \psi |M|\psi \rangle }$.

דוגמאות

שתי דרגות חופש

נחשוב על מערכת בעלת שני מצבים, נניח חלקיק היכול להימצא באחת משתי קופסאות. נוכל לייצג מצב אחד עם וקטור ${\displaystyle |1\rangle }$ ואת המצב השני עם ${\displaystyle |2\rangle }$ כשנדרוש שהווקטורים מנורמלים ${\displaystyle \langle 1|1\rangle =\langle 2|2\rangle =1}$ ושאם המערכת נמצאת במצב אחד הסיכוי למצוא אותה בשני הוא אפס: ${\displaystyle \langle 2|1\rangle =0}$. מצב כללי הוא סופרפוזיציה קוונטית של המצבים שניתן לרשום כצירוף ליניארי: ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |1\rangle +\beta |2\rangle }$ כש ${\displaystyle \ \alpha }$ ו${\displaystyle \ \beta }$ הם מספרים מרוכבים. מהנרמול של ${\displaystyle |\psi \rangle }$ נקבל ${\displaystyle \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ והסיכויים למצוא את המערכת במצבים ${\displaystyle |1\rangle }$ ו${\displaystyle |2\rangle }$ הם ${\displaystyle \ |\alpha |^{2}}$ ו${\displaystyle \ |\beta |^{2}}$ בהתאמה.

את כל זה ניתן לרשום כווקטורי עמודה:

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\end{bmatrix}}~~~~~|2\rangle ={\begin{bmatrix}0\\1\\\end{bmatrix}}~~~~~|1\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}}$

ואת המרחב הדואלי כווקטורי שורה:

${\displaystyle \langle 1|={\begin{bmatrix}1\;0\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \langle 2|={\begin{bmatrix}0\;1\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \psi |={\begin{bmatrix}\alpha ^{*}\;\beta ^{*}\\\end{bmatrix}}}$

כשסימן הכוכבית מיצג צמוד מרוכב.

אם קיים גודל פיזיקלי של המערכת השונה בכל מצב, לדוגמה אם האנרגיה של המערכת במצבים ${\displaystyle |1\rangle }$ ו${\displaystyle |2\rangle }$ היא ${\displaystyle \ E_{1}}$ ו${\displaystyle \ E_{2}}$ בהתאמה, נוכל לתאר זאת בעזרת המטריצה:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}E_{1}\;0\\0\;E_{2}\\\end{bmatrix}}}$

שבמקרה זה היא גם המילטוניאן של המערכת וערך התצפית שלה למצב ${\displaystyle |\psi \rangle }$ נתון על ידי

${\displaystyle \langle \psi |M|\psi \rangle ={\begin{bmatrix}\alpha ^{*}\;\beta ^{*}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\;0\\0\;E_{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\end{bmatrix}}=E_{1}|\alpha |^{2}+E_{2}|\beta |^{2}}$

מרחב הקואורדינטות

נחשוב על חלקיק היכול לנוע רק על ציר ה-x. במכניקת הקוונטים מצבו מיוצג על ידי פונקציית גל המתאימה מספר מרוכב לכל נקודה על ציר ה-x. זהו למעשה וקטור מממד אינסופי, כשאיברי הווקטור הם ערכי פונקציית הגל:

${\displaystyle |\psi (x)\rangle ={\begin{bmatrix}\psi (-\infty )\\.\\.\\\psi (-2dx)\\\psi (-dx)\\\psi (0)\\\psi (dx)\\\psi (2dx)\\.\\.\\\psi (\infty )\end{bmatrix}}}$.

המכפלה הפנימית של וקטור זה עם עצמו במרחב הדואלי נותנת את הנירמול:

${\displaystyle \langle \psi (x)|\psi (x)\rangle ={\begin{bmatrix}\psi ^{*}(-\infty )\;.\;.\;.\;\psi ^{*}(\infty )\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\psi (-\infty )\\.\\.\\.\\\psi (\infty )\end{bmatrix}}=\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}dx}$.

ראו גם

• מצב קוונטי
• סימון דיראק
• מצב עצמי
• מכניקה קוונטית
• מטריצת צפיפות
• ספין
• קיוביט