ארבעון

אַרְבָּעוֹן^[1] (גם טטראדר או טטרהדרון; באנגלית: Tetrahedron) הוא פירמידה משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן משולשים. לארבעון 4 קודקודים, 4 פאות, ו-6 מקצועות.

ארבעון משוכלל

מודל תלת־ממדי של ארבעון משוכלל (לחצו להגדלה)

מבנה בצורת ארבעון

אף על פי שלעיתים נתפסת התיבה כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף תלת־ממדי ולא מישורי, שכן דרך כל שלוש נקודות עובר מישור.

הארבעון הוא 3-סימפלקס, מקרה פרטי של n-סימפלקס (הכללה רב-ממדית של המשולש).

נפח הארבעון נתון על ידי הנוסחה:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{0}\,h\,}$

כאשר ${\displaystyle A_{0}}$ הוא שטח הבסיס ו-h הוא הגובה מהבסיס אל הקודקוד שמעליו.

ארבעון משוכלל

ארבעון משוכלל הוא ארבעון שכל פאותיו הן משולשים שווי צלעות.

הארבעון המשוכלל סימטרי במידה רבה ביותר: חבורת הסימטריות שלו פועלת 4-טרנזיטיבית על ארבעת הקודקודים, כלומר, אפשר להעביר, על ידי סיבוב ושיקוף, כל סדרת קודקודים לכל סדרת קודקודים אחרת. חבורת הסימטריות המרחביות של הארבעון המשוכלל איזומורפית לחבורת תמורות ${\displaystyle A_{4}}$. השלד של הארבעון הוא הגרף השלם ${\displaystyle K_{4}}$, וחבורת הסימטריות שלו איזומורפית ל-${\displaystyle S_{4}}$.

הארבעון המשוכלל הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים, הידועים גם בשם הפאונים המשוכללים. גוף אפלטוני הוא פאון שכל פאותיו הן אותו מצולע משוכלל (מצולע שווה-צלעות), ובכל אחד מקודקודיו נפגשות פאות באותו מספר.

שטח הפנים A והנפח V של ארבעון משוכלל בעל צלע a הם:

${\displaystyle A={\sqrt {3}}a^{2}}$

${\displaystyle V={\tfrac {{\sqrt {2}}a^{3}}{12}}}$

הארבעון המשוכלל הוא דואלי לעצמו. כלומר: אם נסמן בכל אחת מפאותיו של ארבעון את הנקודה האמצעית, ונחבר את כל הנקודות הללו, נקבל ארבעון משוכלל.

מיון הארבעונים על-פי הסימטריות שלהם

את הארבעונים אפשר למיין למשפחות, על-פי חבורת הסימטריות שלהם. זהו מיון בעל משמעות בקריסטלוגרפיה, שם ממיינים את הסריגים למחלקות בראבה ולמערכות גבישיות, בין השאר, על-פי חבורת הסימטריות של תא היחידה של הסריג.

הסימטריות של השלד

סריג תת-החבורות של ${\displaystyle S_{4}}$: עותק אחד מכל מחלקת צמידות. בשחור: תת-חבורות המופיעות כחבורות סימטריה של שלדי ארבעונים

פירמידות שרפינסקי מאיטרציות 0–7 שנוצרות מארבעונים ומכילות מופעים רבים שלהם (דגם תלת־ממדי, לחצו להגדלה)

הקודקודים והמקצועות של ארבעון מרכיבים את השלד החד-ממדי שלו, שהוא גרף שממנו אפשר לשחזר את המבנה הגאומטרי, התלת-ממדי. בסימטריות של השלד אפשר לבצע גם פעולות שאינן אפשריות בגוף צפיד, השקולות לשיקוף של המרחב: תמורה של הקודקודים מהווה סימטריה של השלד, אם היא מעתיקה כל מקצוע למקצוע באותו אורך. משום כך יש יותר חבורות סימטריה אפשריות לשלד, על-פי הפירוט הבא.

1. חבורת הסימטריות של ארבעון משוכלל היא ${\displaystyle S_{4}}$ (אם חבורת הסימטריות מכילה את ${\displaystyle A_{4}}$, שהיא 2-טרנזיטיבית על הקודקודים ולכן טרנזיטיבית בפעולה על המקצועות, הארבעון מוכרח להיות משוכלל).
2. חבורת הסימטריות היא החבורה הדיהדרלית ${\displaystyle D_{4}}$ אם הארבעון הוא יתדון טטרגונלי, שבו ארבעה מקצועות שווי-אורך ועוד שניים, שאינם נפגשים, שגם שהם שווי-אורך. (הסימטריה הציקלית מסדר 4 מאלצת די שוויונות בין ארכי המקצועות כדי שהחבורה תהיה ${\displaystyle D_{4}}$).
3. חבורת הסימטריות היא החבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{3}}$ כאשר הארבעון הוא פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות. (גם כאן, סימטריה ציקלית מסדר 3 מאלצת את התכונות המקנות גם סימטריית שיקוף ועימה את החבורה ${\displaystyle S_{3}}$).
4. חבורת הסימטריות היא חבורת הארבעה של קליין, ${\displaystyle K_{4}}$, אם הארבעון הוא יתדון רומבי.
5. חבורת הסימטריות היא ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$, מסדר 4, וכוללת שני חילופים המחליפים זוגות זרים של קודקודים, אם לארבעון יש ארבעה מקצועות שווי-אורך שאין ביניהם שלושה החולקים קודקוד משותף.
6. חבורת הסימטריות היא ${\displaystyle C_{2}}$, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים).
7. חבורת הסימטריות היא ${\displaystyle C_{2}}$, ציקלית מסדר 2, עם חילוף של זוג קודקודים, אם לארבעון יש שני זוגות של מקצועות שווי-אורך הנפגשים בקודקוד משותף.
8. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

סימטריות הסיבוב המרחביות

כל סימטריה של השלד אפשר לממש גם כסימטריה של המרחב כולו, אם מרשים בנוסף לסיבובים, גם לשקף את המרחב. פעולת השיקוף אינה ניתנת למימוש במציאות הפיזיקלית (בשל-כך יודע אדם בין ימינו לשמאלו). ללא שיקופים אפשר לממש רק תמורות זוגיות, ונותרות חמש אפשרויות:

1. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון משוכלל היא, כאמור, ${\displaystyle A_{4}}$.
2. חבורת סימטריות הסיבוב של פירמידה ישרה שבסיסה משולש שווה-צלעות היא החבורה הציקלית ${\displaystyle C_{3}}$.
3. חבורת סימטריות הסיבוב של יתדון (רומבי או טטרגונלי) היא ${\displaystyle K_{4}}$.
4. חבורת סימטריות הסיבוב של ארבעון בעל שני זוגות של מקצועות שווי-אורך שאינם נפגשים (והזוג השלישי, שלא כמו ביתדון, בעל אורכים שונים) היא ${\displaystyle C_{2}}$, ציקלית מסדר 2, עם החלפה של שני זוגות קודקודים.
5. בכל מקרה אחר, חבורת הסימטריות טריוויאלית.

קוביית משחק

קוביית משחק בעלת ארבע פאות

הארבעון משמש כקוביית משחק במשחקי תפקידים בתור ק4. המספרים מופיעים במרכז כל צלע. מאחר שאין לארבעון צד עליון המספר שהתקבל נקבע על פי המספר המופיע במרכז הצלע התחתונה.

ראו גם

• מתאן - מולקולה בצורת ארבעון
• ארבעון קטום
• הבעיה השלישית של הילברט

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: ארבעון
תמונות ומדיה בוויקישיתוף: ארבעון

• ארבעון, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. במילוני האקדמיה ללשון העברית השונים גם: פִּירָמִידָה מְשֻׁלֶּשֶׁת, פִּירָמִידָה מְשֻׁלָּשִׁית, טֶיטְרָאֶדְרוֹן, טֶטְרָאֵדֶר

חמשת הפאונים האפלטוניים

ארבעון (טטרהדרון - 4 פאות) קובייה (הקסאהדרון - 6 פאות) תמניון (אוקטהדרון - 8 פאות) תריסרון (דודקהדרון - 12 פאות) עשרימון (איקוסהדרון - 20 פאות)