פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה ${\displaystyle G}$ פועלת על הקבוצה ${\displaystyle X}$. אם לכל שתי נקודות ${\displaystyle x,y\in X}$ קיים איבר ${\displaystyle g\in G}$ המעביר את ${\displaystyle x}$ ל-${\displaystyle y}$, אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית.

במקרים רבים לקבוצה ${\displaystyle X}$ יש מבנה נוסף (כגון אם ${\displaystyle X}$ הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה ${\displaystyle G}$ הפועלת על ${\displaystyle X}$ באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של ${\displaystyle X}$ דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש-${\displaystyle X}$ מרחב הומוגני (אם ${\displaystyle X}$ הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי).

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה ${\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}}$. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה ${\displaystyle X}$ איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של ${\displaystyle G}$) למרחב הקוסטים ${\displaystyle G/G_{x}}$. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

כאשר החבורה ${\displaystyle G}$ פועלת על קבוצה ${\displaystyle X}$, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של ${\displaystyle X}$ עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של ${\displaystyle X}$. הפעולה מוגדרת לפי ${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{k})=(g(x_{1}),\dots ,g(x_{k}))}$, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה ${\displaystyle X^{k}}$ את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה ${\displaystyle X^{[k]}}$ של הווקטורים באורך ${\displaystyle k}$ שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של ${\displaystyle G}$, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם ${\displaystyle G}$ פועלת באופן טרנזיטיבי על ${\displaystyle X^{[k]}}$, אז הפעולה שלה על ${\displaystyle X}$ היא פעולה ${\displaystyle k}$-טרנזיטיבית. ניסוח אחר: ${\displaystyle G}$ פועלת ${\displaystyle k}$-טרנזיטיבית על ${\displaystyle X}$, אם לכל ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ שונים זה מזה, ולכל ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}}$ שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר ${\displaystyle g(x_{i})=y_{i}}$. אם יש בחבורה איבר יחיד ${\displaystyle g}$ כנ"ל, אז הפעולה היא ${\displaystyle k}$-טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית ${\displaystyle S_{n}}$ על הקבוצה ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות ${\displaystyle A_{n}}$ על אותה קבוצה היא (${\displaystyle n-2}$)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר ${\displaystyle m<n-1}$, הפעולה של ${\displaystyle S_{n}}$ היא ${\displaystyle m}$-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופית

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא ${\displaystyle k}$-טרנזיטיבית לכל ${\displaystyle k}$, ואוליגומורפית אם לכל ${\displaystyle k}$ יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל ${\displaystyle k}$.

מיון של פעולות טרנזיטיביות

טרנזיטיביות מדרגה ראשונית

יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות ${\displaystyle \ AGL_{1}(p)}$ המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת ${\displaystyle \ P\Gamma {}L_{n}(p)}$ המכילות את ${\displaystyle \ PSL_{n}(p)}$ במקרים שבהם הסדר ${\displaystyle \ (p^{n}-1)/(p-1)}$ של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים: ${\displaystyle \ PSL_{2}(11)}$ בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו ${\displaystyle \ M_{11}}$ ו-${\displaystyle \ M_{23}}$.

טרנזיטיביות מסדר גבוה

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן ${\displaystyle S_{4},S_{5},A_{6}}$ וחבורת מתיו ${\displaystyle M_{11}}$; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן ${\displaystyle S_{5},S_{6},A_{7}}$ וחבורת מתיו ${\displaystyle M_{12}}$, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן ${\displaystyle k}$-טרנזיטיבי חד, עבור ${\displaystyle k\geq 6}$, הן ${\displaystyle S_{k},S_{k+1},A_{k}}$.

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(q)}$ (לכל חזקת-ראשוני ${\displaystyle q}$), ו-${\displaystyle M(q)}$ (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); ${\displaystyle M(q)}$ היא תת-חבורה של ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle }$ המכילה את ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(q)}$.

כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות ${\displaystyle S_{n}}$ ו-${\displaystyle A_{n}}$, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: ${\displaystyle M_{11}}$ ו-${\displaystyle M_{23}}$ הן 4-טרנזיטיביות, ו-${\displaystyle M_{12}}$ ו-${\displaystyle M_{24}}$ הן 5-טרנזיטיביות) ^[1].

ראו גם

• חבורת תמורות
• פעולה פרימיטיבית

הערות שוליים

1. Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc., Cambridge Univ. Press; משפט 4.11