מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

תכונות

• כל מצולע משוכלל אפשר לחסום במעגל, ואפשר לחסום בו מעגל. המרכזים של המעגלים מתלכדים, ונקודה זו היא מרכז הכובד של המצולע
• כל המצולעים המשוכללים בעלי אותו מספר צלעות דומים זה לזה.
• כל המצולעים המשוכללים הם קמורים.

גדלים

למצולע משוכלל בעל ${\displaystyle \ n}$ צלעות התכונות הבאות:

• יש לו סימטריה סיבובית מסדר ${\displaystyle \ n}$ וסימטריה שיקופית בעלת n צירי סימטריה. חבורת כל הסימטריות הנוצרות מסיבובי ושיקופי המצולע (והרכבותיהם) נקראת חבורה דיהדרלית.
• כל זווית בו שווה ${\displaystyle (1-{\frac {2}{n}})\times 180}$ מעלות או ${\displaystyle {\frac {(n-2)\pi }{n}}}$ רדיאנים
• יש לו ${\displaystyle {\frac {n(n-3)}{2}}}$ אלכסונים.
• אם הצלע היא ${\displaystyle \ t}$, אז:
  • ההיקף שלו ${\displaystyle t\cdot n}$
  • השטח שלו ${\displaystyle {\frac {1}{4}}nt^{2}\cot {\tfrac {\pi }{n}}}$
  • הרדיוס של המעגל החוסם הוא ${\displaystyle \ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}}$
  • הרדיוס r של המעגל החסום (השווה באורכו לאפותם a של המצולע) הוא ${\displaystyle \ r=a={\frac {t}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}={t \over {2\ tan({\pi \over n})}}={t \over 2}tan({{\pi (n-2)} \over {2n}})}$

תכונות נוספות

• ניתן לבנות בסרגל ומחוגה מצולע משוכלל אם ורק אם כל הגורמים הראשוניים האי-זוגיים של מספר הצלעות הם מספרי פרמה שונים^[1].
• אם לוקחים מצולע משוכלל החסום במעגל שרדיוסו 1 ומכפילים את כל הקווים (צלעות ואלכסונים) היוצאים מקודקוד מסוים, מקבלים את מספר הצלעות. זו אבחנה של גאוס^[2], וניתן להוכיח אותה^[3] בעזרת תכונות פולינומים ששורשיהם הם שורשי היחידה מסדר n.

מצולעים משוכללים

• 
  משולש משוכלל - משולש שווה-צלעות
• 
  מרובע משוכלל - ריבוע
• 
  מחומש משוכלל
• 
  משושה משוכלל
• 
  משובע משוכלל
• 
  מתומן משוכלל
• 
  מתושע משוכלל
• 
  מעושר משוכלל

פאונים

ניתן ליצור בעזרת מצולעים משוכללים פאונים. פאון משוכלל הוא פאון בו כל המצולעים זהים, בכל קודקוד מספר שווה של מצולעים ובכל פאה נוגעים מספר שווה של מצולעים. לשם יצירת פאון כזה יש לחבר לפחות שלושה מצולעים סביב קודקוד כך שסכום הזוויות יהיה פחות מ-360 מעלות. האפשרויות לכך הן: לחבר שלושה, ארבעה או חמישה משולשים (מתקבלים ארבעון, תמניון ועשרימון בהתאמה), שלושה ריבועים (מתקבלת קובייה) או שלושה מחומשים (מתקבל תריסרון) מסביב לקודקוד.

חמשת הפאונים האפלטוניים

ארבעון (טטרהדרון - 4 פאות) קובייה (הקסאהדרון - 6 פאות) תמניון (אוקטהדרון - 8 פאות) תריסרון (דודקהדרון - 12 פאות) עשרימון (איקוסהדרון - 20 פאות)

אם מסירים את הדרישה שכל הפאות תהיינה חופפות מתקבלים פאונים הנקראים פאונים משוכללים למחצה. אלה כוללים את המנסרות משוכללות, את האנטי-מנסרות משוכללות, את הפאונים ארכימדיים ואת הפאונים המשוכללים שהוזכרו לעיל.

ריצופים

אפשר לרצף את המישור בעזרת מצולעים משוכללים. הריצופים המשוכללים הם ריצופים בהם כל האריחים זהים, כך שצלעות נוגעות זו בזו. לשם כך יש לסדר סביב הקודקוד מצולעים שיסגרו את כל הקודקוד, כלומר על הזווית לחלק את 360 מעלות. ישנן שלוש אפשרויות לעשות זאת: משולשים, מרובעים ומשושים.

• 
• 
• 

אם משתמשים במצולעים מסוגים שונים (אך מותירים את הדרישה שמצולעים מאותו הסוג יהיו מגודל זהה ושהריצוף יהיה צלע לצלע) מקבלים בנוסף גם את הריצופים הבאים:

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מצולע משוכלל בוויקישיתוף

• מצולע משוכלל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. גדי אלכסנדרוביץ', אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?, באתר "לא מדויק", 15 בפברואר 2009
2. Minaketan Behara, Rudolf Fritsch, Rubens G. Lintz Walter de Gruyter (Ed.). Mathematics and Theoretical Physics. Walter de Gruyter, 2011. ISBN 3110886723 p.419
3. Simple prove that product of the diagonals of a polygon=N. Stackexchange.com