אינדוקציה נתרית

באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה.

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הגדרה והסבר

תהי ${\displaystyle R}$ אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה ${\displaystyle R/A}$ עבור כל אידיאל ${\displaystyle 0\neq A\triangleleft R}$, ואז להמשיך באינדוקציה.

הסבר - יהי ${\displaystyle L}$ אוסף כל האידיאלים ${\displaystyle A}$ של ${\displaystyle R}$ כך ש-${\displaystyle R/A}$ דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם. ${\displaystyle R}$ נתרי, ולכן ל-${\displaystyle L}$ יש מקסימום, נאמר ${\displaystyle I_{1}}$. בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה ${\displaystyle R/I}$ שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה ${\displaystyle 0\neq I_{2}/I_{1}\triangleleft R/I_{1}}$ המנה מקיימת את הטענה, משום ש-${\displaystyle (R/I_{1})/(I_{2}/I_{1})\cong R/I_{2}}$, ו-${\displaystyle I_{1}\subsetneq I_{2}}$.

דוגמה

טענה: אם ${\displaystyle R}$ נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים ${\displaystyle P_{1},...,P_{t}\in spec(R)}$ כך ש-${\displaystyle P_{1}\cdot ...P_{t}=0}$.

הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי ${\displaystyle R}$ דוגמה נגדית, אבל ${\displaystyle R/I}$ איננו דוגמה נגדית לכל ${\displaystyle 0\neq I\triangleleft R}$. כעת, ${\displaystyle R}$ דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח ${\displaystyle P_{1}=0}$). לכן, יש אידיאלים ${\displaystyle A,B\neq 0}$ עבורם ${\displaystyle AB=0}$. לפי ההנחה, ${\displaystyle R/A,R/B}$ מקיימות את הטענה, ולכן קיימים ${\displaystyle {\overline {P_{1}}},...,{\overline {P_{u}}}\in spec(R/A),{\overline {P_{u+1}}},...,{\overline {P_{n}}}\in spec(R/B)}$ כך ש-${\displaystyle {\overline {P_{1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{u}}}={\overline {P_{u+1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{n}}}=0}$. נקבל ${\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{u}\subseteq A,P_{u+1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq B}$, ולכן ${\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq AB=0}$ כלומר ${\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}=0}$, וסיימנו באינדוקציה נתרית.

יחס בנוי-היטב

כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס ${\displaystyle R}$ על קבוצה ${\displaystyle X}$ שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה ${\displaystyle S}$ קיים ${\displaystyle a\in S}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in S}$ מתקיים ${\displaystyle \lnot x{\mathcal {R}}y}$. היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם ${\displaystyle R^{-1}}$ (היחס ההופכי) בנוי-היטב.

בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית:

אם ${\displaystyle (X,R)}$ יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר ${\displaystyle x\in X}$ מספיק להוכיח אותה על כל ${\displaystyle yRx}$.

אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידיאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל).

ראו גם

• תנאי שרשרת (מתמטיקה)