מיקום (גאומטריה)

בגאומטריה, וקטור מיקום או מיקום, הוא וקטור אוקלידי (אנ') המייצג את המיקום של נקודה ${\displaystyle P}$ במרחב ביחס לראשית הצירים שרירותית הנקראת ${\displaystyle O}$. בדרך כלל מסומן על ידי האות ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle r}$, או ${\displaystyle s}$, ומתאים לקטע הקו הישר מ-${\displaystyle O}$ ל-${\displaystyle P}$. במילים אחרות, ההעתק או התרגום היא שממפה את המקור ל-${\displaystyle P}$:

${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$

וקטור מיקום ${\displaystyle {\vec {r}}}$ מייצג את המיקום של נקודה ${\displaystyle \mathrm {P} (x,y,z)}$ ביחס למקור O. במערכת קואורדינטות קרטזית ${\displaystyle {\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}}$.

המונח "וקטור מיקום" משמש בעיקר בתחומי גאומטריה דיפרנציאלית, מכניקה ולעיתים אנליזה וקטורית.

בדרך כלל משתמשים במונח במרחב דו-ממדי או תלת־ממדי, אך ניתן להכליל בקלות למרחבים אוקלידיים ומרחבים אפיניים מכל מימד.

מיקום יחסי

המיקום היחסי של נקודה ${\displaystyle Q}$ ביחס לנקודה ${\displaystyle P}$ הוא הווקטור האוקלידי הנובע מהחיסור של שני וקטורי המיקום המוחלטים (כל אחד ביחס לראשית הצירים או המקור):

${\displaystyle \Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}}}$

כאשר ${\displaystyle \mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}}$ ו ${\displaystyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}}$.

הכיוון היחסי בין שתי נקודות הוא מיקומן היחסי המנורמל כוקטור יחידה:

${\displaystyle \Delta \mathbf {\hat {r}} =\Delta \mathbf {r} /\|\Delta \mathbf {r} \|}$

הגדרה

מרחב תלת־ממדי

עקומת שטח בתלת מימד. וקטור המיקום r מוגדר על ידי t סקלרי. כאשר r = a הקו האדום הוא המשיק לעקומה, והמישור הכחול נורמלי לעקומה.

במרחב תלת־ממדי, ניתן להשתמש בכל קבוצת קואורדינטות תלת-ממדיות ובווקטורי הבסיס התואמים להן כדי להגדיר את מיקומה של נקודה במרחב - זו הדרך הפשוטה ביותר ובה משתמשים בדרך כלל.

בדרך כלל, משתמשים במערכת הקואורדינטות הקרטזית המוכרת, ולפעמים גם במערכת קואורדינטות כדוריות, או מערכת קואורדינטות גליליות:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}}$

כאשר ${\displaystyle {t}}$ הוא פרמטר. הקואורדינטות השונות והווקטורים הבסיסיים המתאימים מייצגים את אותו וקטור המיקום. לחלופין, ניתן להשתמש בקואורדינטות עקומות כלליות יותר, וזה בשימוש במכניקת רצף ותורת היחסות הכללית (במקרה האחרון צריך קואורדינטת זמן נוספת).

מרחב n ממדי

האלגברה הליניארית מאפשרת הפשטה של וקטור מיקום למרחב n-ממדי. וקטור מיקום יכול לבוא לידי ביטוי כצירוף ליניארי של וקטורי בסיס:

${\displaystyle \mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.}$

הקבוצה של כל וקטורי המיקום יוצרת מרחב מיקום (מרחב וקטורי שהאלמנטים שלו הם וקטורי המיקום), שכן ניתן ליצור צירוף ליניארי על ידי חיבור וכפל בסקלר לקבלת וקטור מיקום נוסף במרחב. מימד מרחב המיקום הוא n (מסומן גם ${\displaystyle \dim(R)=n}$). הקואורדינטות של הווקטור ${\displaystyle {r}}$ ביחס לוקטורי הבסיס ${\displaystyle {e_{i}}}$ הן ${\displaystyle {x_{i}}}$. ניתן לייצג את הווקטור ${\displaystyle {r}}$ על ידי ה-N-יה הסדורה ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$.

הקבוצה הפורשת של קבוצת בסיס ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},...,e_{n}\}}$ שווה למרחב המיקום ${\displaystyle R}$, המסומן ${\displaystyle R=span(B)}$.

יישומים

גאומטריה דיפרנציאלית

שדות וקטורי-מיקום יכולות לשמש לתיאור עקומות רציפות וניתנות להבדלה. בניגוד למה שנראה להלן, הפרמטר הבלתי תלוי אינו צריך להיות זמן, אלא יכול להיות (למשל) אורך הקשת של העקומה.

מכניקה

בכל משוואת תנועה, וקטור המיקום ${\displaystyle r(t)}$ הוא בדרך כלל הדבר המבוקש ביותר מכיוון שזו ההגדרה של תנועת החלקיק - מיקומו ביחס למערכת קואורדינטות נתונה בזמן כלשהו ${\displaystyle t}$. כדי להגדיר תנועה במונחים של מיקום, כל קואורדינטה מתוארת על ידי פרמטר של זמן; מכיוון שכל ערך רציף של זמן מתורגם לרצף מתאים של מיקומים במרחב המיוצגים על ידי הקואורדינטות.

במקרה של מימד אחד, למיקום יש רק מרכיב אחד, ולכן באופן מעשי הוא פשוט קואורדינטה סקלרית. זה יכול להיות, נניח, וקטור בכיוון ${\displaystyle x}$, או בכיוון ${\displaystyle r}$ רדיאלי. לעיתים מסמנים זאת כך:

${\displaystyle \mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).}$

נגזרות של מיקום

עבור וקטור מיקום ${\displaystyle r}$ שהוא פונקציה של הזמן ${\displaystyle t}$, ניתן לחשב את הנגזרת ביחס ל- ${\displaystyle t}$. לנגזרות אלה יש שימוש משותף בחקר הקינמטיקה, תורת הבקרה, הנדסה ומדעים אחרים.

מהירות

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}.}$

תאוצה

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.}$

נתירה

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.}$

השמות אלה לתיאור נגזרת הראשונה, שנייה ושלישית של המיקום ביחס לזמן משמשים בדרך כלל בקינמטיקה בסיסית. בהרחבה, ניתן לחשב גם נגזרות מסדר גבוה יותר באופן דומה. מחקר של נגזרות מסדר גבוה יכול לשפר קירובים של פונקציית ההעתק המקורית. גזירות מסדר גבוה נדרשים על מנת לייצג במדויק את פונקציית ההעתק כסכום של רצף אינסופי, המאפשר מספר טכניקות אנליטיות בהנדסה ובפיזיקה.

ראו גם

• מרחב אפיני
• קואורדינטות
• איכון
• שש דרגות חופש

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מיקום בוויקישיתוף

• מיקום, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• מיקום, באתר MathWorld (באנגלית)