כפל בסקלר

באלגברה, כפל וקטור בסקלר היא אחת הפעולות הבסיסיות המאפיינות מרחב וקטורי (ובאופן כללי יותר: מודול). כפל וקטור בסקלר שונה ממכפלה סקלרית, שהיא מכפלה פנימית בין שני וקטורים.

ערך מחפש מקורות

ביתר פירוט: אם ${\displaystyle \mathbb {K} }$ הוא שדה ו-V הוא מרחב וקטורי מעל ${\displaystyle \mathbb {K} }$, כפל וקטור בסקלר הוא פונקציה מ-${\displaystyle \mathbb {K} \times V}$ אל V (נסמנה ${\displaystyle \bullet$ :\mathbb {K} \times V\rightarrow V} . התוצאה של הפעלת הפונקציה על ${\displaystyle c\in K}$ ועל ${\displaystyle v\in V}$ מסומנת ${\displaystyle c\bullet v}$ אומנם לרוב נשתמש בסימון ${\displaystyle \ cv}$.

כפל וקטור בסקלר מקיים את התכונות הבאות:

• דיסטריבוטיביות משמאל: ${\displaystyle \ (c+d)v=cv+dv}$.
• דיסטריבוטיביות מימין: ${\displaystyle \ c(v+w)=cv+cw}$.
• אסוציאטיביות: ${\displaystyle \ (cd)v=c(dv)}$.

הסימן + בתכונות דלעיל מייצג חיבור בשדה או במרחב הווקטורי, בהתאם להקשר.

ניתן לראות כפל וקטור בסקלר כפעולת חבורה של השדה על המרחב הווקטורי. אינטרפרטציה גאומטרית של כפל וקטור בסקלר היא מתיחה או כיווץ של הווקטור.

כמקרה פרטי, ניתן לקחת את השדה K עצמו כמרחב הווקטורי V, ולקבל את פעולת הכפל בשדה.

הרעיון המתואר לעיל מתקיים גם כאשר K הוא חוג קומוטטיבי ו-V הוא מודול מעל K.

דוגמאות

• במרחב הווקטורי הסטנדרטי ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ כפל בסקלר מוגדר לפי ${\displaystyle c(a_{1},\ldots ,a_{n})=(ca_{1},\ldots ,ca_{n})}$. בפרט במרחב האוקלידי כפל בסקלר c הוא מתיחה או כיווץ של הווקטור בשיעור c. למשל ${\displaystyle 3(1,-2)=(3,-6)}$.
• במרחב הפונקציות הממשיות כפל בסקלר מוגדר כך שלכל x ממשי מתקיים ${\displaystyle (cf)(x)=c\cdot f(x)}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא כפל בסקלר בוויקישיתוף

• כפל בסקלר, באתר MathWorld (באנגלית)