Primorial

En matemáticas, e máis particularmente en teoría de números, o primorial, denotado por "#", é unha función de números naturais a números naturais semellante á función factorial, mais en lugar de multiplicar sucesivamente números enteiros positivos, a función só multiplica os números primos .

O nome "primorial", acuñado por Harvey Dubner, fai unha analoxía cos primos semellante á forma en que o nome "factorial" se relaciona cos factores.

Definición con números primos

p_n# en función de n, representado logarítmicamente.

Para o n-ésimo número primo p_n, o primorial p_n# defínese como o produto dos n primeiros primos: ^[1]

${\displaystyle p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}}$,

onde p_k é o k-ésimo número primo. Por exemplo, p₅# significa o produto dos 5 primeiros primos:

${\displaystyle p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Os cinco primeiros primoriais p_n# son:

2, 6, 30, 210, 2310 (secuencia A002110 na OEIS).

A secuencia tamén inclúe p₀# = 1 como produto baleiro . Asintoticamente, os primoriais p_n# medran segundo:

${\displaystyle p_{n}\#=e^{(1+o(1))n\log n},}$

onde o( ) é a notación O pequeno.^[1]

Definición con números naturais

n! (amarelo) en función de n, en comparación con n# (vermello), ambos os dous representados logarítmicamente.

En xeral, para un enteiro positivo n, o seu primorial, n#, é o produto dos primos que non son maiores que n; é dicir, ^[2]

 ${\displaystyle n\#=\prod _{p\leq n \atop p{\text{ prime}}}p=\prod _{i=1}^{\pi (n)}p_{i}=p_{\pi (n)}\#}$,

onde π(n) é a función de contaxe de números primos (secuencia A000720 na OEIS), que dá o número de primos ≤ n.

Por exemplo, 12# representa o produto deses números primos ≤ 12:

${\displaystyle 12\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310.}$

Por tanto coas dúas nomenclaturas temos:

${\displaystyle 12\#=p_{\pi (12)}\#=p_{5}\#=2310.}$

Datos relacionados

• Os primoriais están relacionados coa primeira función de Chebyshev, escrita ϑ (n) segundo:

${\displaystyle \ln(n\#)=\vartheta (n).}$

• Dado que ${\displaystyle \vartheta (n)}$ achégase asintóticamente a n para valores grandes de n, os primoriais crecen segundo:

${\displaystyle n\#=e^{(1+o(1))n}.}$

• Para o Primorial, coñécese a seguinte aproximación:^[3]

${\displaystyle n\#\leq 4^{n}}$.

A maiores: ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n\#}}=e}$. Para ${\displaystyle n<10^{11}}$, os valores son máis pequenos que e, [4] pero para n maior, os valores da función superan o límite e e oscilan infinitamente arredor de e máis adiante.

• Sexa ${\displaystyle p_{k}}$ o k-ésimo primo, entón ${\displaystyle p_{k}\#}$ ten exactamente ${\displaystyle 2^{k}}$ divisores. Por exemplo, ${\displaystyle 2\#}$ ten 2 divisores, ${\displaystyle 3\#}$ ten 4 divisores, ${\displaystyle 5\#}$ ten 8 divisores e ${\displaystyle 97\#}$ xa ten ${\displaystyle 2^{25}}$ divisores, xa que 97 é o 25º primo.
• A suma dos valores recíprocos do primorial converxe cara a unha constante

${\displaystyle \sum _{p\,\in \,\mathbb {P} }{1 \over p\#}={1 \over 2}+{1 \over 6}+{1 \over 30}+\ldots =0{.}7052301717918\ldots }$

A expansión de Engel deste número dá como resultado a secuencia dos números primos (Ver (secuencia A064648 na OEIS))