Expansión de Engel

A expansión de Engel dun número real positivo x é a única secuencia non decrecente de números enteiros positivos ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\dots )}$ tal que

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)}$

Por exemplo, o número e ten unha expansión de Engel

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...

correspondente á serie infinita

${\displaystyle e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots }$

Os números racionais teñen unha expansión de Engel finita, mentres que os números irracionais teñen unha expansión de Engel infinita. Se x é racional, a súa expansión de Engel proporciona unha representación de x como unha fracción exipcia. As expansións de Engel reciben o nome de Friedrich Engel, quen as estudou en 1913.

Unha expansión análoga a unha expansión de Engel, na que os termos alternos son negativos, chámase expansión de Pierce.

Expansións de Engel, fraccións continuas e Fibonacci

Kraaikamp & Wu (2004) observe que unha expansión de Engel tamén se pode escribir coma unha variante ascendetnte dunha fracción continua:

${\displaystyle x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.}$

Afirman que as fraccións continuas ascendentes como esta foron estudadas xa no Liber Abaci de Fibonacci (1202). Esta afirmación parece referirse á notación de fracción composta de Fibonacci na que unha secuencia de numeradores e denominadores que comparten a mesma barra de fracción representa unha fracción continua ascendente:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Algoritmo para calcular as expansións de Engel

Para atopar a expansión de Engel de x, sexa

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,}$

e

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$

onde ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ é a función teito (o número enteiro máis pequeno non inferior a r).

Se ${\displaystyle u_{i}=0}$ para calquera i, remata o algoritmo.

Exemplo

Para atopar a expansión de Engel de 1.175, realizamos os seguintes pasos.

${\displaystyle u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0}$

A serie remata aquí. Así,

${\displaystyle 1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

e a expansión de Engel de 1.175 é (1, 6, 20).

A expansión de Engel para progresións aritméticas

Considere esta suma:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots ,}$

onde ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} }$ e ${\displaystyle 0<\alpha \leq \beta }$ . Así, en xeral

${\displaystyle \left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;}$ ,

onde ${\displaystyle \gamma }$ representa a función gamma incompleta minúscula.

En concreto, se ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ,

${\displaystyle e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;}$ .

Expansión de Engel para potencias de q

A identidade de Gauss do q-análogo pódese escribir como:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-{\frac {1}{q^{2n}}}}{1-{\frac {1}{q^{2n-1}}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{q^{\frac {n(n+1)}{2}}}},\quad q\in \mathbb {N} .}$

Usando esta identidade, podemos expresar a expansión de Engel para potencias de ${\displaystyle q}$ do seguinte xeito:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{q^{n}}}\right)^{(-1)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}q^{i}}}.}$

A maiores, esta expresión pódese escribir en forma pechada como:

${\displaystyle {\frac {q^{1/8}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{\sqrt {q}}}\right)}{2}}=\{1,q,q^{3},q^{6},q^{10},\ldots \}}$

onde ${\displaystyle \vartheta _{2}}$ é a segunda función theta.

Expansións de Engel para algunhas constantes coñecidas

${\displaystyle \pi }$ = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (secuencia A006784 na OEIS)

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (secuencia A028254 na OEIS)

${\displaystyle e}$ = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (secuencia A028310 na OEIS)