Independencia linear

En matemáticas, dise que un conxunto de vectores é linearmente dependente se un dos vectores do conxunto pode ser definido como combinación linear dos outros; se ningún vector do conxunto pode escribirse deste xeito, dise que os vectores son linearmente independentes. Estes conceptos son fundamentais para a definición de dimensión.^[1]

Vectores linearmente independentes en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Vectores linearmente dependentes nun plano en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Un espazo vectorial pode ter dimensión finita ou infinita dependendo do número de vectores linearmente independentes nunha base. A definición de dependencia linear e a posibilidade de determinar se un subconxunto de vectores nun espazo vectorial é linearmente dependente son fundamentais para atopar unha base nese espazo.

Definición

Dise que os vectores nun subconxunto ${\displaystyle S=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}}$ dun espazo vectorial V son linearmente dependentes se existe un número finito de vectores distintos ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{k}}$ en ${\displaystyle S}$ e escalares ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}}$, non todos nulos, tales que

${\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +a_{k}{\vec {v}}_{k}={\vec {0}},}$

onde ${\displaystyle {\vec {0}}}$ denota o vector cero.

Cómpre sinalar que se non todos os escalares son nulos, entón polo menos un non é cero, por exemplo ${\displaystyle a_{1}}$, e neste caso a igualdade pode escribirse da forma

${\displaystyle {\vec {v}}_{1}={\frac {-a_{2}}{a_{1}}}{\vec {v}}_{2}+\cdots +{\frac {-a_{k}}{a_{1}}}{\vec {v}}_{k}.}$

Así, ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$ aparece como combinación linear dos demais vectores.

Dise que os vectores dun conxunto ${\displaystyle T=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}}$ son linearmente independentes se a igualdade

${\displaystyle a_{1}{\vec {v}}_{1}+a_{2}{\vec {v}}_{2}+\cdots +a_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}},}$

só pode ser satisfeita con ${\displaystyle a_{i}=0}$ para ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$. Isto implica que ningún vector do conxunto se pode representar como combinación linear dos restantes, é dicir, un conxunto de vectores é linearmente independente se a única representación de ${\displaystyle {\vec {0}}}$ como combinación linear dos seus vectores é a representación trivial na que todos os escalares ${\displaystyle a_{i}}$ son cero.^[2]

Dimensións infinitas

Para permitir que o número de vectores linearmente independentes nun espazo vectorial sexa infinito numerable, resulta útil definir a dependencia linear como segue: Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K, e sexa {v_i | i∈I} unha familia de elementos de V. A familia é linearmente dependente sobre K se existe unha familia {a_j | j∈J} de elementos de K, non todos cero, tales que

${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{j}v_{j}=0}$

onde o conxunto índice J é un subconxunto non baleiro de I.

Un conxunto X de elementos de V é linearmente independente se a familia correspondente {x}_x∈X é linearmente independente. Equivalentemente, unha familia é dependente se un membro es combinación linear dos demais da familia. O caso trivial da familia baleira debe considerarse como linearmente independente para aplicar os teoremas.

Un conxunto de vectores linearmente independente que cobre un espazo vectorial forma unha base dese espazo. Por exemplo, o espazo vectorial dos polinomios en x sobre os números reais ten o subconxunto (infinito) {1, x, x², ...} como base.

Avaliación da independencia linear

Vectores en ℝ²

Tres vectores

Considérese o conxunto de vectores v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2) e v₃ = (2, 4), entón a condición para a dependencia linear busca un conxunto de escalares non nulos tales que

${\displaystyle a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}+a_{3}{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},}$

ou

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\1&2&4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Reducindo a matriz da ecuación subtraendo a primeira fila da segunda obtense

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3&2\\0&5&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Continúase a redución dividindo a segunda fila entre 5 e logo multiplicando por 3 e sumando a primeira fila, é dicir

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&16/5\\0&1&2/5\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Pode entón reordenarse a ecuación para obter

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}16/5\\2/5\end{Bmatrix}}.}$

que mostra que existe a_i non nulo tal que v₃ = (2, 4) se pode definir en termos de v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2). Entón, os tres vectores son linearmente dependentes.

Dous vectores

Considérese a dependencia linear de dous vectores v₁ = (1, 1), v₂ = (−3, 2), e compróbese,

${\displaystyle a_{1}{\begin{Bmatrix}1\\1\end{Bmatrix}}+a_{2}{\begin{Bmatrix}-3\\2\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}},}$

ou

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

A mesma redución da matriz empregada na epígrafe anterior leva a

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Isto mostra que a_i = 0, o que quere dicir que os vectores v₁ = (1, 1) e v₂ = (−3, 2) son linearmente independentes.

Vectores en ℝ⁴

Para determinar se os tres vectores en ℝ⁴,

${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{Bmatrix}1\\4\\2\\-3\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{Bmatrix}7\\10\\-4\\-1\end{Bmatrix}},\mathbf {v} _{3}={\begin{Bmatrix}-2\\1\\5\\-4\end{Bmatrix}}.}$

son linearmente dependentes fórmase a ecuación matricial

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\4&10&1\\2&-4&5\\-3&-1&-4\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Reducindo a ecuación obtense

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&-2\\0&-18&9\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}0\\0\\0\\0\end{Bmatrix}}.}$

Reordenando para resolver v₃ obtense

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7\\0&-18&\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{Bmatrix}}=-a_{3}{\begin{Bmatrix}-2\\9\end{Bmatrix}}.}$

Esta ecuación pode resolverse facilmente para definir un a_i non nulo,

${\displaystyle a_{1}=-3a_{3}/2,a_{2}=a_{3}/2,}$

onde a₃ pode escollerse arbitrariamente. Así, os vectores v₁, v₂ e v₃ son linearmente dependentes.

Métodos alternativos empregando determinantes

Un método alternativo pode atoparse co feito de que n vectores en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ son linearmente independentes se e só se o determinante da matriz formada tomando os vectores como columnas non é cero.

Neste caso, a matriz formada polos vectores é

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}.}$

Pódese escribir como combinación linear das columnas como

${\displaystyle A\Lambda ={\begin{bmatrix}1&-3\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$

Interesa saber se AΛ = 0 para algún vector non nulo Λ. Isto depende do determinante de A, que é

${\displaystyle \det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\neq 0.}$

Dado que o determinante non é nulo, os vectores (1, 1) e (−3, 2) son linearmente independentes.

Doutro xeito, se se teñen m vectores de n coordenadas, con m < n. Entón A é unha matriz n×m e Λ é un vector columna con m elementos, e de novo interesa se AΛ = 0. Como se viu antes, isto é equivalente a unha listaxe de n ecuacións. Considérense as primeiras m filas de A as primeiras m ecuacións; algunha solución da lista completa de ecuacións debe ser tamén válida para a lista reducida. De feito, se 〈i₁,...,i_m〉está nalgunha lista de m filas, entón a ecuación debe ser verdadeira para esas filas.

${\displaystyle A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }\Lambda =\mathbf {0} .}$

Ademais, o recíproco é verdadeiro, é dicir, pódese comprobar se os m vectores son linearmente dependentes comprboando se

${\displaystyle \det A_{{\langle i_{1},\dots ,i_{m}}\rangle }=0}$

para todas as posibles listas de m filas. (No caso de que m = n, require só o determinante, como arriba. Se m > n, entón é un teorema que os vectores deben ser linearmente dependentes.) Este feito é avaliable en teoría, mais na práctica disponse de métodos máis eficientes.

Máis vectores que a dimensión

Se hai máis vectores que a dimensión, os vectores son linearmente dependentes. Isto vén ilustrado no exemplo superior de tres vectores en ℝ².

Notas

1. G. E. Shilov, Linear Algebra (Trans. R. A. Silverman), Dover Publications, Nova York, 1977.
2. Friedberg, Insel, Spence, Stephen, Arnold, Lawrence (2003). Linear Algebra. Pearson, 4th Edition. pp. 48–49. ISBN 0130084514.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Funcións linearmente dependentes en WolframMathWorld (en inglés)
• Tutorial e programa interactivo sobre independencia linear (en inglés)
• Introdución a independencia linear en KhanAcademy. (en inglés)