Distribución Weibull

Na teoría da probabilidade e na estatística, a Distribución Weibull (chamada así por Waloddi Weibull) é unha función de distribución de probabilidade continua con función de densidade

${\displaystyle f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Weibull

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	${\displaystyle \lambda >0\,}$ escala (real) ${\displaystyle k>0\,}$ forma (real)
Soporte	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
Función de densidade	${\displaystyle (k/\lambda )(x/\lambda )^{(k-1)}e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Función de distribución	${\displaystyle 1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}$
Media	${\displaystyle \mu =\lambda \Gamma (1+1/k)\,}$
Mediana	${\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}\,}$
Moda
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}=\lambda ^{2}\Gamma (1+2/k)-\mu ^{2}\,}$
Asimetría	${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}$
Curtose
Entropía	${\displaystyle \gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\left({\frac {\lambda }{k}}\right)^{k}+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)}$
F. xeradora de momentos
Func. caract.

onde ${\displaystyle x\geq 0}$ e ${\displaystyle k>0}$ é o parámetro de forma e ${\displaystyle \lambda >0}$ é o parámetro de escala da distribución.

A función de densidade está definida como

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}$

onde de novo ${\displaystyle x>0}$.

As distribucións Weibull úsanse a miúdo para modelar o tempo entre fallos de equipos. Se a velocidade de fallo do equipo decrece co tempo, escóllese un ${\displaystyle k<1}$ (resultando unha densidade decrecente ${\displaystyle f}$). Se a velocidade de fallo do equipo é constante co tempo, escóllese ${\displaystyle k=1}$, resultando de novo nunha función decrecetnte ${\displaystyle f}$. Se a velocidade de fallo do equipo increméntase co tempo, escóllese un ${\displaystyle k>1}$ e obtense unha densidade ${\displaystyle f}$ a cal se incrementa ata un máximo e logo decrece sempre. Os construtores de equipos acostuman subministrar os parámetros de forma e escala para a distribución de vida útil dos equipos. A distribución Weibull tamén se acostuma utilizar para modelar a velocidade de vento nunha zona concreta da Terra. De novo, cada zona está caracterizada polos seus parámetros de escala e forma.

Propiedades

O momento de orde n vén dado por:

${\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,}$

onde ${\displaystyle \Gamma }$ é a función gamma. O valor esperado e o desvío estándar dunha variable aleatoria Weibull poden expresarse como:

${\displaystyle {\textrm {E}}(X)=\lambda \Gamma (1+1/k)\,}$

e

${\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}[\Gamma (1+2/k)-\Gamma ^{2}(1+1/k)]\,}$

Xeración de variables aleatorias Weibull

Dada unha variable aleatoria U derivada dunha distribución uniforme no intervalo (0, 1], entón a variable

${\displaystyle X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}$

ten unha distribución Weibull con parámetros k e λ. Isto vén dado da forma da función de distribución da variable.

Distribucións relacionadas

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$ é unha distribución exponencial se ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda )}$.
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )}$ é unha distribución Rayleigh se ${\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,\beta )}$.
• ${\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,}$ é unha distribución Weibull se ${\displaystyle X\sim \mathrm {U} (0,1)}$ (uniforme en ${\displaystyle (0,1)}$).

Usos

A distribución Weibull úsase a miúdo no sitio da distribución normal debido ó feito de que unha variable Weibull pode xerarse mediante inversión, mentres que as variables normais se xeran tipicamente utilizando o método Box-Muller, que require dúas variables aleatorias uniformes. As distribucións Weibull tamén se poden utilizar para representar tempos de entrega e proceso en problemas de enxeñería industrial.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• A Distribución Weibull (con exemplos, propiedade e calculadoras).
• The Weibull plot. Arquivado 25 de marzo de 2008 en Wayback Machine.
• Utilizando Excel para a análise Weibull Arquivado 02 de marzo de 2008 en Wayback Machine.
  Este artigo de Quality Digest describe como utilizar MS Excel para analizar datos de tempos de vida con distribución estatística Weibull. Aínda que Excel non ten unha función inversa Weibull, o artigo mostra como usar Excel para resolver valores críticos.
• WeibPar.com Software Arquivado 25 de outubro de 2005 en Wayback Machine. para estimar parámetros Weibull dun conxunto de datos.