Homotopía

En topoloxía, e máis precisamente en topoloxía alxébrica, dúas aplicacións continuas dun espazo topolóxico noutro chámanse homotópicas (do grego homos = mesmo e topos = lugar) se unha delas pode "deformarse continuamente" na outra.

Os dous camiños con liñas de puntos que se mostran arriba son homotópicos en relación aos seus extremos. A animación representa unha posible homotopía.

Definición formal

Dúas aplicacións continuas ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ dinse homotópicas se existe outra aplicación (continua tamén) ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ tal que:

${\displaystyle H(x,0)=f(x)\,}$

${\displaystyle H(x,1)=g(x)\,}$

Un exemplo importante son as diferentes clases (homotópicas) de aplicacións do círculo nun espazo ${\displaystyle X}$

${\displaystyle S^{1}\to X\,}$

a estrutura resultante é o grupo fundamental.

Se dúas aplicacións ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ son homotópicas, escríbese ${\displaystyle f\simeq g}$; o que significa que esta relación é efectivamente unha relación de equivalencia sobre o conxunto de aplicacións continuas de ${\displaystyle X}$ en ${\displaystyle Y}$. As clases de equivalencia denomínanse clases de homotopía das aplicacións.^[1]

Tipo homotópico

Dise que dous espazos ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ teñen o mesmo tipo homotópico se existe un par de aplicacións ${\displaystyle X{\stackrel {f}{\to }}Y}$ e ${\displaystyle Y{\stackrel {g}{\to }}X}$ tales que ${\displaystyle g\circ f}$ e ${\displaystyle f\circ g}$ son homotópicos a ${\displaystyle Id_{X}}$ e ${\displaystyle Id_{Y}}$ respectivamente. Adoita empregarse o símbolo ${\displaystyle f\simeq g}$, para indicar que os obxectos ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ son homotópicos.

Como exemplos, unha 1-esfera e un toro sólido teñen o mesmo tipo homotópico. Un espazo topolóxico que ten o mesmo tipo homotópico que un conxunto unitario dise contráctil.

Notas

1. Munkres: "Topología"

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Homotopy". MathWorld (en inglés).
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001). "Homotopy" (en inglés).