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équation dont les inconnues sont des fonctions et faisant intervenir certaines de leurs dérivées successives De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, une équation différentielle est une équation dont la ou les « inconnue(s) » sont des fonctions ; elle se présente sous la forme d'une relation entre ces fonctions inconnues et leurs dérivées successives. C'est un cas particulier d'équation fonctionnelle.
Une équation différentielle permet de modéliser des situations très diverses dans lesquelles la vitesse de variation d'une quantité a une relation déterminée à cette quantité, par exemple lui est proportionnelle. En physique on peut notamment grâce aux équations différentielles modéliser le nombre de noyaux instables à un instant précis grâce à la loi de décroissance radioactive ou encore modéliser l'évolution de la température d'un système incompressible en fonction du temps avec la loi de refroidissement Newton en thermodynamique.
Les équations différentielles ont une histoire mondiale, et leur utilisation s'est étendue à tous les continents pour modéliser et comprendre une grande variété de phénomènes dynamiques dans les domaines scientifiques et techniques. Les avancées modernes, notamment l'utilisation d'outils informatiques pour résoudre numériquement des équations complexes, continuent d'élargir leur portée et leur application.
Des modélisations mathématiques étaient déjà en cours de développement à l'époque de la Renaissance. Et l'utilisation explicite des équations différentielles formelles a émergé avec le développement du calcul différentiel et intégral au XVIIe siècle, principalement avec les travaux de Newton et de Leibniz[1].
À l'époque moderne, les équations différentielles ont joué un rôle central dans la modélisation et la compréhension des phénomènes dynamiques dans un large éventail de disciplines scientifiques et techniques. Les développements de ces domaines ont été rendu possibles par l'utilisation et la résolution de divers types d'équations différentielles[2].
On distingue généralement deux types d'équations différentielles :
Sans plus de précision, le terme équation différentielle fait le plus souvent référence aux équations différentielles ordinaires.
Et il y a l'équation différentielle raide dont la sensibilité aux paramètres va rendre difficile la résolution par des méthodes numériques explicites.
On rencontre également d'autres types d'équations différentielles (liste non exhaustive) :
La théorie de Galois différentielle étudie les équations différentielles à l'aide de méthodes algébriques.
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