Trigonalisation

En algèbre linéaire, une matrice carrée A à coefficients dans un corps K est dite trigonalisable (ou triangularisable) sur K si elle est semblable à une matrice triangulaire T à coefficients dans K, via une matrice de passage P elle aussi à coefficients dans K :

${\displaystyle A=PTP^{-1}.}$

Trigonaliser (on dit aussi triangulariser) A sur K consiste à trouver de telles matrices T et P. Cela est possible (on dit alors que A est trigonalisable) si et seulement si le polynôme caractéristique de A est scindé sur K. Par exemple, si A est à coefficients réels, elle est trigonalisable sur ℝ si et seulement si toutes ses valeurs propres (complexes a priori) sont réelles.

Dans la suite, on se donne un entier n > 0 et ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)}$ désignera l'algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K.

Matrices triangulaires

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est-à-dire une matrice de la forme

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,n}\\0&\ddots &\ddots &a_{2,n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n,n}\end{pmatrix}}.}$

De même, une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

• Soit ${\displaystyle M\in \operatorname {M} _{n}(K)}$, on dit que ${\displaystyle M}$ est une matrice trigonalisable^[1] s'il existe une matrice inversible ${\displaystyle P\in GL_{n}(K)}$ et une matrice triangulaire supérieure ${\displaystyle T\in \operatorname {M} _{n}(K)}$ telles que :${\displaystyle M=PTP^{-1}}$ (ou, ce qui est équivalent : ${\displaystyle T=P^{-1}MP}$).Cela revient à dire que ${\displaystyle M}$ est semblable dans ${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(K)}$ à une matrice triangulaire supérieure (ou à une matrice triangulaire inférieure, ce qui est équivalent^[2]).
  En particulier :
  • toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable (il suffit de choisir ${\displaystyle P=I_{n}}$ où ${\displaystyle I_{n}}$ est la matrice identité de dimension ${\displaystyle n}$) ;
  • toute matrice diagonalisable est a fortiori trigonalisable (car une matrice diagonale est un cas particulier de matrice triangulaire).
• Soient ${\displaystyle E}$ un ${\displaystyle K}$-espace vectoriel de dimension finie et ${\displaystyle u}$ un endomorphisme de ${\displaystyle E}$. On dit que ${\displaystyle u}$ est un endomorphisme trigonalisable s'il existe une base de ${\displaystyle E}$ dans laquelle la matrice de ${\displaystyle u}$ est triangulaire supérieure.
• Ces deux définitions sont reliées par le fait qu'un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de ${\displaystyle E}$ est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de ${\displaystyle E}$ est trigonalisable.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

• Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X]^[2].

  En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.

  Sur le corps des nombres complexes (algébriquement clos d'après le théorème de d'Alembert-Gauss), Issai Schur a démontré un résultat plus précis :

Théorème de décomposition de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormée.

• Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Notes

1. Pour des exemples, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.
2. Pour une démonstration, voir par exemple la leçon sur Wikiversité.

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• Trigonalisation, sur Wikiversity

• Réduction d'endomorphisme
• Décomposition de Dunford
• Théorèmes de trigonalisation simultanée :
  • Théorème de Lie (1876)
  • Théorème de Engel (1890)
  • Théorème de McCoy (1934)
  • Théorème de Lie-Kolchin (1948)

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