Drapeau (mathématiques)

En mathématiques, un drapeau d'un espace vectoriel E de dimension finie est une suite finie strictement croissante de sous-espaces vectoriels de E, commençant par l'espace nul {0} et se terminant par l'espace total E :

${\displaystyle \{0\}=E_{0}\subsetneq E_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq E_{k-1}\subsetneq E_{k}=E.}$

Si n est la dimension de E, les dimensions successives des sous-espaces E_i forment une suite finie strictement croissante d'entiers naturels :

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<\dots <d_{k-1}<d_{k}=n.}$

Si d_i = i pour tout i (donc entre autres si k = n), alors le drapeau est dit total ou complet.

Base adaptée à un drapeau

À toute base (e₁, …, e_n) de l'espace E de dimension n est associé un drapeau total dont les termes sont constitués des espaces successivement engendrés : ${\displaystyle E_{1}={\rm {Vect}}(e_{1}),\ E_{2}={\rm {Vect}}(e_{1},e_{2}),\ldots }$

Exemple : si E est l'espace ℝ_m[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à m, sa base canonique est (1, X, X², …, X^m) et sa dimension est n = m + 1. L'espace E₀ = {0} et les espaces E_{i + 1} = ℝ_i[X] successifs pour i allant de 0 à m constituent un drapeau total de E.

Réciproquement, un drapeau total possède plusieurs bases adaptées. On les obtient en choisissant des vecteurs e_i tels que e_i appartient à E_i mais pas à E_{i – 1}.

Drapeau stable par un endomorphisme

Si u est un endomorphisme de E, on dit que le drapeau est stable par u si chaque E_i est stable par u : ${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,u(E_{i})\subset E_{i}.}$

Par exemple, si l'on reprend pour E l'espace ℝ_m[X] et le drapeau formé des espaces ℝ_i[X] successifs, un endomorphisme laisse stable ce drapeau à condition de diminuer (au sens large) le degré des polynômes. C'est le cas des endomorphismes de dérivation (P donne P'), de translation (P donne P(X + 1)), de différence finie (P donne P(X + 1) - P), etc.

Théorème de trigonalisation utilisant les drapeaux

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme u de E est trigonalisable si et seulement s'il existe un drapeau total de E stable par u.

Les drapeaux dans le cadre euclidien

Lorsque E est un espace euclidien, le procédé de Gram-Schmidt permet, à partir d'une base adaptée à un drapeau total de E, d'obtenir une base orthonormale adaptée à ce même drapeau.

Si l'on combine avec la propriété précédente, on constate que tout endomorphisme trigonalisable peut être trigonalisé dans une base orthonormale.

Voir aussi

Articles connexes

• Variété de drapeaux
• Filtration
• Théorème de Jordan-Hölder
• Polynômes orthogonaux

Bibliographie

(en) I. R. Shafarevich et A. O. Remizov, Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, 526 p. (ISBN 978-3-642-30993-9, lire en ligne)

• Portail de l’algèbre
• Portail de la géométrie