Plongement de Kuratowski

En mathématiques, le plongement de Kuratowski permet d'identifier tout espace métrique à une partie d'un espace de Banach (de façon non canonique).

Théorème de Kuratowski-Wojdysławski

Si (X,d) est un espace métrique, a un point de X et ℓ^∞(X) l'espace de Banach des applications bornées de X dans ℝ, muni de la norme de la convergence uniforme, alors l'application ${\displaystyle \Phi :X\to \ell ^{\infty }(X)}$ définie par ${\displaystyle \forall x,y\in X\quad \Phi (x)(y)=d(x,y)-d(a,y)}$ est une isométrie, dont l'image est fermée dans son enveloppe convexe^[1].

Si (X,d) est borné, on peut définir une telle isométrie plus simplement, en posant Φ(x)(y) = d(x, y)^[2],[3].

On peut bien sûr restreindre l'ensemble d'arrivée au sous-espace vectoriel fermé de ℓ^∞(X) constitué des applications bornées continues^[4].

Utilisations

Ces plongements sont utiles parce que les espaces de Banach ont certaines propriétés que ne possèdent pas tous les espaces métriques : ce sont des espaces vectoriels — ce qui permet d'ajouter des points et de pratiquer de la géométrie élémentaire sur les droites, les plans, etc. — et ils sont complets. Étant donné une application f dont l'ensemble d'arrivée est X, on peut vouloir étendre f à un ensemble de définition plus grand, ce qui nécessite souvent d'agrandir en même temps son ensemble d'arrivée, en un espace de Banach contenant X.

Histoire

Formellement, Kazimierz Kuratowski fut le premier à introduire ce plongement^[5], mais une variante très proche apparaît déjà dans des articles de Fréchet. Ces articles l’utilisent respectivement pour exhiber ℓ^∞(X) comme un espace métrique séparable "universel" (il n'est pas lui-même séparable, d'où les guillemets)^[6] et pour construire une métrique générale sur ℝ comme pullback de la métrique sur une simple courbe de Jordan dans ℓ^∞(X)^[7].