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Une liste de centres du triangle a été établie par le mathématicien américain Clark Kimberling dans son Encyclopédie des centres du triangle, disponible en ligne auprès de l'université d'Evansville[1]. Le rang d'un point remarquable dans la liste est appelé son nombre de Kimberling. Par exemple, le centre de gravité , noté X(2), est le numéro 2.
Au , la liste de Kimberling comptait 52 112 points remarquables.
Des paires de points bicentriques sont aussi répertoriées par la notation (P(n), U(n))[2].
D'après Clark Kimberling, un centre du triangle est un point X tel qu'il existe une fonction f non nulle homogène symétrique par rapport à ses deuxième et troisième variable, telle que X ait pour coordonnées barycentriques (ou bien trilinéaires) en notant les longueurs des côtés du triangle :
Les premiers points sont :
Référence | Nom du point |
---|---|
X(1) | Centre du cercle inscrit |
X(2) | Centre de gravité |
X(3) | Centre du cercle circonscrit |
X(4) | Orthocentre |
X(5) | Centre du cercle d'Euler |
X(6) | Point de Lemoine |
X(7) | Point de Gergonne |
X(8) | Point de Nagel |
X(9) | Mittenpunkt |
X(10) | Centre du cercle de Spieker |
X(11) | Point de Feuerbach |
X(13) | Point de Fermat ou premier point isogonique |
X(14) | Deuxième point isogonique |
X(15), X(16) | les deux points isodynamiques |
X(17), X(18) | les deux points de Napoléon |
X(20) | Point de Longchamps |
X(21) | Point de Schiffler |
X(485) | Point de Vecten |
X(501) | Point de Miquel |
Pour obtenir le nombre de Kimberling d'un point dont on connait un système de coordonnées trilinéaires .
On calcule d'abord une valeur approchée de l'aire du triangle pour :
Puis, avec , on calcule une valeur approchée de , puis une valeur approchée de .
Ensuite grâce à la table de cette page de l'ETC, on obtient le nombre de Kimberling du point, à partir de la coordonnée .
Une paire bicentrique de points dans le triangle est un couple de points (P, Q) tel qu'il existe une fonction f non nulle homogène mais non symétrique caractérisant les coordonnées barycentriques de P et Q[3]:
Kimberling répertorie les paires de points bicentriques sous la notation (P(n), U(n))[2]. Au , la liste comptait 210 paires bicentriques remarquables.
Référence | Nom de la paire | Définition |
---|---|---|
P(1), U(1) | Points de Brocard | Intersections de trois céviennes isoclines[4] |
P(2), U(2) | Points de Beltrami | Inverses des points de Brocard par rapport au cercle circonscrit |
P(3), U(3) | Points d'Yff | Intersections des trois céviennes telles que les distances entre un sommet et le pied d'une cévienne soient égales[5] |
P(4), U(4) | Intersections de Grinberg | Points d'intersection du cercle circonscrit et du cercle d'Euler du triangle (n'existent que si un des angles est obtus) |
P(11), U(11) | Conjugués isotomiques des points de Brocard | |
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