problème mathématique De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, le problème des moments de Hausdorff est celui des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une suite (mn) de réels soit la suite des moments
d'une mesure de Borel sur le segment [0, 1].
Le nom du problème est associé au mathématicien allemand Felix Hausdorff.
Dans le cas m0 = 1, ceci équivaut à l'existence d'une variable aléatoire réelle X dans l'intervalle [0, 1] telle que pour tout n, l'espérance de Xn soit égale à mn.
Ce problème est voisin du problème des moments de Stieljes défini sur l'intervalle , celui de Toeplitz sur et celui de Hamburger sur mais à la différence de ceux-ci, la solution, si elle existe, est unique.
Il a été étendu aux espaces bidimensionnels[1] et aux suites tronquées[2].
Hausdorff a montré[3],[4] qu'il existe une solution si et seulement si la suite (mn) est complètement monotone, c'est-à-dire si ses suites de différences satisfont
pour tout n, k ≥ 0, où Δ est l'opérateur différence finie donné par
Une telle condition est nécessaire, en effet
Par exemple
L'unicité de se déduit du théorème d'approximation de Weierstrass :
Les problèmes d'approximation en physique conduisent à l'usage de suites tronquées . Dans ce cas, si l'on définit les matrices de Hankel suivantes
la condition nécessaire et suffisante d'existence sur est[2]
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