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En mathématiques, le « master theorem » de Ramanujan (littéralement, « théorème maître », dû à Srinivasa Ramanujan, et trouvé dans ses carnets après sa mort[1]) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d'une fonction analytique.
Sous des hypothèses qui ont été précisées par Hardy[2], et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :
Master theorem — Si est une fonction à valeurs complexes développable en série entière sous la forme
alors, sous certaines hypothèses sur la fonction , la transformée de Mellin de est donnée par
où est la fonction gamma.
Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.
Une autre forme du master theorem est :
qui revient à la précédente par la substitution , en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
L'intégrale précédente est convergente pour (si vérifie des conditions de croissance convenables[3]).
Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré d'attention[4].
Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy[2], utilisant le théorème des résidus et le théorème d'inversion de Mellin (en).
Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci :
Pour soit . La décroissance exponentielle de implique que g est analytique sur .
De plus le théorème des résidus donne que pour , . Donc g est en fait le prolongement analytique de f.
Enfin comme est bornée, par inversion de Mellin, on a :
La série génératrice des polynômes de Bernoulli est :
Utilisant la fonction zêta de Hurwitz , on a pour .
Le master theorem permet alors d'obtenir[5] la représentation intégrale :
En utilisant la définition de Weierstrass :
équivalente à
En particulier, pour et , on obtient
résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7[3].
Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique (par le biais de diagrammes de Feynman)[6].
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