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Le limaçon de Pascal est une courbe plane fermée présentant éventuellement un point double, obtenue en traçant le mouvement décrit par un point d'un disque roulant (sans glisser) sur un cercle. La cardioïde en est un cas particulier : le point double dégénère alors un rebroussement de première espèce. Le limaçon trisecteur est un second cas particulier (à ne pas confondre avec la trisectrice de Maclaurin)
Les limaçons de Pascal sont aussi les podaires d'un cercle par rapport à un point quelconque.
Le limaçon a pour équation en coordonnées polaires :
Pour cette équation, le cercle porteur a pour rayon a/2 et pour centre le point de coordonnées polaires (b/2;0). Le point mobile est à une distance b/2 du centre du cercle mobile.
Elle a pour équation complexe[1]:
Le point est le foyer singulier du limaçon, intersection des asymptotes complexes[2].
En coordonnées cartésiennes, l'équation devient[1],[3] :
C'est donc une quartique rationnelle, c'est-à-dire une courbe algébrique de degré 4[n 1] .
En tant que quartique unicursale, elle possède une paramétrisation rationnelle[4]:
La courbe est étudiée par Gilles Personne de Roberval vers 1640-1650[5],[1] dans son Observations sur la composition des mouvements et le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes[n 2] où il en construit les tangentes, puis dans son Traité des indivisibles quand il en calcule l'aire inscrite[5]. Il la mentionne sous le nom de «Limaçon de M. Paschal», en référence à Étienne Pascal, père de Blaise Pascal.
L'intérêt des Pascal pour les roulettes est bien documenté. Le limaçon, qui en est une généralisation, a été proposé vers 1630[1] comme sujet d'étude par Étienne Pascal, père de Blaise Pascal, au père Mersenne[réf. nécessaire]. Étienne Pascal l'utilise dans le cas de la trisection de l'angle et il est probable que ce soit la motivation de sa construction[6].
Cependant l'étude de cette courbe est probablement antérieure puisqu'on la trouve déjà chez Dürer dans son Underweysung der Messung (Instructions pour la mesure à la règle et au compas) dont la première publication date de 1525. Dürer en indique le tracé avec des outils de dessin et lui donne le nom de ligne araignée (en allemand, Spinnen Lini [7],[n 3] et en latin aranei linea[n 4]).
Selon les valeurs de b/a, l'allure de la courbe change[1] :
L'équation de la tangente au point de coordonnées polaires est[8],[n 5]
Le rayon de courbure est[9]:
Pour la courbe possède deux points d'inflexion[10],[11] pour et .
Ces points deviennent des points d'ondulation si
Si , la longueur d'un arc de limaçon entre et nécessite l'utilisation d'une intégrale elliptique de deuxième espèce[12]:
L'aire balayée par le vecteur pour variant de 0 à est [13]:
En particulier, l'aire d'un limaçon sans boucle (cas où est [13],[1]:
Le limaçon d'équation est la podaire du cercle de centre et de rayon par rapport à l'origine du repère[14].
En effet dans l'image ci-dessous on considère le projeté de O sur la tangente au cercle en T. Les coordonnées polaires de sont et celles de sont . Celles de M sont donc pour variant de 0 à . Ce qui correspond à l'équation polaire du limaçon.
Ce même limaçon est la conchoïde du cercle de diamètre OB où B a pour coordonnées polaires , de pôle O et de module [5].
En effet par un raisonnement analogue au précédent, pour , on a et . Or le point est confondu avec . Le point parcourt une première partie du limaçon, tandis que en parcourt l'autre partie.
L'équation polaire d'un conique par rapport à un de ses foyers et suivant l'axe focal est .
Le limaçon d'équation polaire est donc la courbe inverse de la conique de foyer O, de même axe principal, de paramètre et d’excentricité par rapport au cercle unité[15].
Le limaçon est l'enveloppe de tous les cercles passant par un point fixe (O) et dont le centre est sur un cercle donné[16].
Le limaçon d'équation polaire est l'enveloppe des cercles passant par O et dont les centres sont sur le cercle de centre B(b;0) et de rayon a.
Pour , un limaçon de Pascal d'équation est un ovale de Descartes complet[17] de foyers O et - foyer double - d'équation
Teixeira suggère[17] de calculer la distance à l'aide de l'expression
On peut , grâce aux égalités et , puis , démontrer que
Par conséquent
Il ne reste plus qu'à exploiter le fait que et pour prouver que les points du limaçon sont sur l'ovale complet de foyers O et d'équation
Ou on peut, plus simplement, utiliser l'équation polaire de l'ovale de Descartes d'équation dans un repère de centre O pour obtenir
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