Son lieu de naissance est inconnu. Il est présent à Naples pendant plusieurs années où il devient maître de chapelle en 1770. Il est connu pour avoir joué un rôle important dans le développement de l'opéra en Russie. Il visite ce pays en 1781 pour la première fois et devient directeur du théâtre Pertovsky, prédécesseur du théâtre Bolchoï à Moscou dès 1784. En 1794, le prince Nicolas Borissovitch Ioussoupov, alors surintendant des théâtres impériaux de Saint-Pétersbourg, lui demande d'emmener une troupe italienne d'opéra ce qu'il fait en 1796. Astarita dirige la troupe jusqu'en 1799. Parmi ses recrues se trouve Teresa Saporiti, créatrice du rôle de Donna Anna dans le Don Giovanni de Mozart.
Il compose plus de 35 opéras, dont la plupart sont des opéras bouffe. Bien qu'oubliées, ses œuvres ont connu un succès important à leur époque et ont été jouées en Allemagne, Autriche, Espagne, Portugal et en Russie. Il a également composé des ballets et de la musique sacrée.
La contessa di Bimbimpoli (Il divertimento in campagna) (dramma giocoso, livret de Giovanni Bertati, 1772, Venise (repris comme Il divertimento in campagna à Dresde, 1783)
L'avaro in campagna (dramma giocoso, livret de Giovanni Bertati, 1772, Turin)
La tomba di Merlino (opera buffa, livret de Giovanni Bertati, 1772, Turin)