Fonction quantile

En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles.

Fonction quantile

Représentation graphique de la fonction quantile d'une loi normale d'espérance 0 et de variance 1

Notation	${\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle [0;1]}$

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Définition formelle

Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition, la fonction quantile est définie par

${\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}}$

pour toute valeur de ${\displaystyle q\in [0,1]}$^[1], la notation ${\displaystyle F^{\leftarrow }}$ désignant l’inverse généralisé à gauche de ${\displaystyle F}$.

Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors ${\displaystyle Q(q)}$ est l'unique valeur de ${\displaystyle x}$ telle que ${\displaystyle F(x)=q}$. ${\displaystyle F^{\leftarrow }}$ correspond alors à la fonction réciproque^[1] de ${\displaystyle F}$, notée ${\displaystyle F^{-1}}$. En revanche, pour les lois discrètes, les fonctions de répartition sont toutes en escalier, d'où l'intérêt de la définition précédente.

On dit que :

• ${\displaystyle Q(0,\!5)}$ est la médiane ;
• ${\displaystyle Q(0,\!25)}$ le premier quartile ;
• ${\displaystyle Q(0,\!75)}$ le troisième quartile ;
• ${\displaystyle Q(0,\!1)}$ le premier décile et
• ${\displaystyle Q(0,\!9)}$ le neuvième décile.

Exemples

Lois continues

Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :

${\displaystyle F(x;\lambda )=(1-{\rm {e}}^{-\lambda x})1\!\!1_{x\geq 0}}$

La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que ${\displaystyle 1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p}$ soit :

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}$

Les quartiles sont donc :

• premier quartile (p = 1/4): ${\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}$
• médiane (p = 2/4) : ${\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}$
• troisième quartile (p = 3/4) : ${\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}$

De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :

• loi de Cauchy de paramètres x₀ et a

  ${\displaystyle Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)}$

• loi logistique de paramètres μ et s

  ${\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)}$

• loi de Laplace

  ${\displaystyle Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}$

Loi de Tukey-lambda

La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R} }$