En probabilités, la fonction quantile est une fonction qui définit les quantiles .
Faits en bref Notation, Ensemble de définition ...
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Soit X une variable aléatoire et F sa fonction de répartition , la fonction quantile est définie par
Q
(
q
)
=
F
←
(
q
)
=
inf
{
x
:
F
(
x
)
⩾
q
}
{\displaystyle Q(q)=F^{\leftarrow }(q)=\inf \left\{x:F(x)\geqslant q\right\}}
pour toute valeur de
q
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle q\in [0,1]}
[1]
F
←
{\displaystyle F^{\leftarrow }}
inverse généralisé à gauche de
F
{\displaystyle F}
Si F est une fonction strictement croissante et continue, alors
Q
(
q
)
{\displaystyle Q(q)}
x
{\displaystyle x}
F
(
x
)
=
q
{\displaystyle F(x)=q}
F
←
{\displaystyle F^{\leftarrow }}
fonction réciproque [1]
F
{\displaystyle F}
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
en escalier , d'où l'intérêt de la définition précédente.
On dit que :
Q
(
0
,
5
)
{\displaystyle Q(0,\!5)}
médiane ;
Q
(
0
,
25
)
{\displaystyle Q(0,\!25)}
quartile ;
Q
(
0
,
75
)
{\displaystyle Q(0,\!75)}
quartile ;
Q
(
0
,
1
)
{\displaystyle Q(0,\!1)}
décile et
Q
(
0
,
9
)
{\displaystyle Q(0,\!9)}
décile .Exemples
Lois continues Par exemple, la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ est :
F
(
x
;
λ
)
=
1
−
e
−
λ
x
1
1
x
≥
0
{\displaystyle F(x;\lambda )=1-{\rm {e}}^{-\lambda x}1\!\!1_{x\geq 0}}
La fonction quantile de cette loi revient, pour une valeur 0 ≤ p < 1, la valeur Q tel que
1
−
e
−
λ
Q
=
p
{\displaystyle 1-{\rm {e}}^{-\lambda Q}=p}
:
Q
(
p
;
λ
)
=
−
ln
(
1
−
p
)
λ
,
{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}
Les quartiles sont donc :
premier quartile (p = 1/4):
−
ln
(
3
/
4
)
/
λ
{\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}
médiane (p = 2/4) :
−
ln
(
1
/
2
)
/
λ
{\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}
troisième quartile (p = 3/4) :
−
ln
(
1
/
4
)
/
λ
.
{\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}
De la même façon, on obtient les fonctions quantiles des lois suivantes :
loi de Cauchy de paramètres x 0 a
Q
(
p
;
x
0
,
a
)
=
x
0
+
a
tan
(
π
(
p
−
1
2
)
)
{\displaystyle Q(p;x_{0},a)=x_{0}+a\tan \left(\pi \left(p-{\frac {1}{2}}\right)\right)}
loi logistique de paramètres μ s
Q
(
p
;
μ
,
s
)
=
μ
+
2
s
artanh
(
2
p
−
1
)
{\displaystyle Q(p;\mu ,s)=\mu +2s\operatorname {artanh} (2p-1)}
loi de Laplace
Q
(
p
;
μ
,
b
)
=
μ
−
b
sgn
(
p
−
0
,
5
)
ln
(
1
−
2
|
p
−
0
,
5
|
)
.
{\displaystyle Q(p;\mu ,b)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0,5)\,\ln(1-2|p-0,5|).}
Loi de Tukey-lambda La loi de Tukey-lambda est définie par sa fonction quantile :
Q
(
p
;
λ
)
=
p
λ
−
(
1
−
p
)
λ
λ
,
λ
∈
R
{\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }}{\lambda }},\ \lambda \in \mathbb {R} }
(en) Larry Wasserman , All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference , New York, Springer-Verlag, 15 septembre 2004 , 461 p. (ISBN 978-0-387-40272-7 lire en ligne ) 
![{\displaystyle [0;1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc3bf59a5da5d8181083b228c8933efbda133483)
![{\displaystyle q\in [0,1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65182fc8db82885d2b8e611397edf4318c44307c)
