Filtration de Moy-Prasad

En mathématiques, la filtration de Moy-Prasad est un ensemble de filtrations d'un groupe réductif p -adique donné et de son algèbre de Lie, définie par Allen Moy et Gopal Prasad. La famille est paramétrée par l'immeuble de Bruhat-Tits ; chaque point de l'immeuble donne une filtration différente. Autrement dit, puisque le terme initial de chaque filtration en un point du bâtiment est le sous-groupe parahorique en ce point, la filtration de Moy-Prasad peut être considérée comme une filtration d'un sous-groupe parahorique d'un groupe réductif.

La principale application de la filtration de Moy-Prasad est la théorie de la représentation des groupes p-adiques. On définit grâce à la filtration la profondeur, un nombre rationnel, d'une représentation. Les représentations de la profondeur r peuvent être comprises en étudiant les r-ième sous-groupes de Moy-Prasad. Ces informations conduisent ensuite à une meilleure compréhension de la structure globale des représentations, et par conséquent de la théorie des nombres via le programme de Langlands.

Pour une exposition détaillée des filtrations de Moy-Prasad et des points semi-stables associés, voir le chapitre 13 du livre Bruhat-Tits theory: a new approach de Tasho Kaletha et Gopal Prasad.

Historique

Dans leurs travaux fondateurs sur la théorie des immeubles, François Bruhat et Jacques Tits ont défini des sous-groupes associés aux fonctions concaves du système de racines^[1]. Ces sous-groupes sont un cas particulier des sous-groupes de Moy-Prasad, définis lorsque le groupe est scindé. Moy et Prasad^[2] ont alors généralisé la construction de Bruhat-Tits aux groupes quasi-scindés, en particulier aux tores, et d'utiliser ces sous-groupes pour étudier la théorie de la représentation du groupe ambiant.

Exemples

L'algèbre de Lie de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ est ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les idéaux non nuls de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ :

Groupe multiplicatif

Un autre exemple de groupe réductif p-adique est le groupe général linéaire ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ ; cet exemple généralise le précédent car ${\displaystyle {\text{GL}}_{1}(\mathbb {Q} _{p})=\mathbb {Q} _{p}^{\times }}$. Comme ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est non-abélien (pour ${\displaystyle n\geq 2}$ ), il comporte une infinité de sous-groupes parahoriques. Un sous-groupe parahorique particulier est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$. Les sous-groupes de Moy-Prasad de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ sont les sous-groupes d'éléments congrus à l'identité modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$. Plus précisément, lorsque ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}=1+(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{u\in \mathbb {Z} _{p}^{\times }:u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Les exemples suivants utilisent les nombres p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ et les entiers p-adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Un lecteur peu familier avec ces anneaux pourra plutôt remplacer ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ par les nombres rationnels ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ et ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ par les entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sans perdre l'idée principale.$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,\mathbb {Z} _{p})^{r}=\{p^{r}a:a\in \mathbb {Z} _{p}\}.}$$Plus généralement, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on se ramène au cas entier :$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{r}:=(\mathbb {Z} _{p}^{\times })_{\lfloor r\rfloor },\qquad (\mathbb {Z} _{p})_{r}:=(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Cet exemple illustre le phénomène général selon lequel, bien que la filtration de Moy-Prasad soit indexée par les réels positifs, la filtration s'altère uniquement sur un sous-ensemble discret et périodique (ci dessus, les entiers naturels).

Groupe linéaire général

où ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})}$ est l'algèbre des matrices <i id="mwXQ">n × n</i> à coefficients dans ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. L'algèbre de Lie de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ est ${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$, et ses sous-algèbres de Moy-Prasad sont les espaces de matrices égales à la matrice nulle modulo certaines puissances de ${\displaystyle p}$ ; quand ${\displaystyle r}$ est un entier positif que nous définissons$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=1+(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 1{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Dans cet exemple, la filtration de Moy-Prasad sont communément notés ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})_{x,r}}$ au lieu de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}}$, où ${\displaystyle x}$ est un point de la construction de ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Q} _{p})}$ dont le sous-groupe parahorique correspondant est ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}).}$$${\displaystyle {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}=(p\,{\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}))^{r}=\{u\in {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p}):u\equiv 0{\bmod {p^{r}}}\}.}$$Enfin, comme précédemment, si ${\displaystyle r}$ est un nombre réel positif, on pose :$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{GL}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor },\qquad {\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{r}:={\text{M}}_{n}(\mathbb {Z} _{p})_{\lfloor r\rfloor }}$$Soit ${\displaystyle G}$ un ${\displaystyle k}$-groupe réductif, ${\displaystyle r\geq 0}$, et ${\displaystyle x}$ un point de l'immeuble de Bruhat-Tits de ${\displaystyle G}$. Le ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ${\displaystyle G(k)}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$. De même, la ${\displaystyle r}$-ème sous-algèbre de Moy-Prasad Lie de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ en ${\displaystyle x}$ est noté ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ ; c'est un ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-module libre, et même un réseau. (En fait, l'algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ peut également être définie lorsque ${\displaystyle r<0}$, bien que le groupe ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ ne puisse pas l'être.)

Propriétés

Bien que la filtration de Moy-Prasad soit couramment utilisée pour étudier la théorie de la représentation des groupes p-adiques, on peut construire des sous-groupes de Moy-Prasad sur n'importe quel corps henselien de valuation discrète ${\displaystyle k}$, et pas seulement sur un corps local non archimédien. Dans cette section et les suivantes, nous supposerons donc que le corps de base ${\displaystyle k}$ est henselien de valuation discrète, et ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ son anneau d'entiers. Néanmoins, le lecteur est invité à supposer, par souci de simplicité, que ${\displaystyle k=\mathbb {Q} _{p}}$, de sorte que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}=\mathbb {Z} _{p}}$.

Une propriété fondamentale de la filtration de Moy-Prasad est qu'elle est décroissante : si ${\displaystyle r\leq s}$ alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}\supseteq {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r}\supseteq G(k)_{x,s}}$. On définit :

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Par la propriété du sous-groupe du commutateur, le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, appelé isomorphisme Moy – Prasad . L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme Moy – Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ être apprivoisé, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se divise sur une extension docilement ramifiée du champ de base ${\displaystyle k}$. Si cette hypothèse est violée alors ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes. ^[3]$${\displaystyle G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s},\qquad {\mathfrak {g}}_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}{\mathfrak {g}}_{x,s}.}$$Cette convention n'est qu'un raccourci de notation car pour tout ${\displaystyle r}$, il existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r+}={\mathfrak {g}}_{x,r+\varepsilon }}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r+}=G(k)_{x,r+\varepsilon }}$.

La filtration de Moy-Prasad satisfait aux propriétés supplémentaires suivantes^[4].

• Un saut dans la filtration de Moy-Prasad est définit par un indice ${\displaystyle r}$ tel que ${\displaystyle G(k)_{x,r+}\neq G(k)_{x,r}}$. L'ensemble des sauts est discret et dénombrable.
• Si ${\displaystyle r\leq s}$, alors ${\displaystyle G(k)_{x,s}}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ et ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,s}}$ est un idéal de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$. On note parfois le groupe quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}:=G(k)_{x,r}/G(k)_{x,s}}$ et l'algèbre quotient ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}:={\mathfrak {g}}_{x,r}/{\mathfrak {g}}_{x,s}}$.
• Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe réductif sur le corps résiduel de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$, à savoir le quotient réductif maximal de la fibre spécial du ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-groupe donné par le parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$. En particulier, si ${\displaystyle k}$ est un corps local non-archimédien (e.g. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$) alors ce quotient est un groupe fini de type Lie.
• ${\displaystyle [G(k)_{x,r},G(k)_{x,s}]\subseteq G(k)_{x,r+s}}$ et ${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{x,r},{\mathfrak {g}}_{x,s}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x,r+s}}$; ici le premier crochet est le commutateur et le second le crochet de Lie.
• Pour tout automorphisme ${\displaystyle \theta }$ de ${\displaystyle G}$ on a ${\displaystyle \theta (G(k)_{x,r})=G(k)_{\theta (x),r}}$ et ${\displaystyle {\text{d}}\theta ({\mathfrak {g}}_{x,r})={\mathfrak {g}}_{\theta (x),r}}$, où ${\displaystyle {\text{d}}\theta }$ est la dérivée de ${\displaystyle \theta }$.
• Pour tout uniformisante ${\displaystyle \varpi }$ de ${\displaystyle k}$ on a ${\displaystyle \varpi {\mathfrak {g}}_{x,r}={\mathfrak {g}}_{x,r+1}}$.

Sous certaines hypothèses techniques sur ${\displaystyle G}$, une propriété importante supplémentaire est satisfaite. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ est abélien si ${\displaystyle r\leq s\leq 2r}$. Dans ce cas il existe un isomorphisme canonique ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}\cong G(k)_{x,r:s}}$, dit isomorphisme Moy-Prasad. L'hypothèse technique nécessaire pour que l'isomorphisme de Moy-Prasad existe est que ${\displaystyle G}$ soit modéré, c'est-à-dire que ${\displaystyle G}$ se scinde sur une extension modérément ramifiée du corps de base ${\displaystyle k}$. Sans cette hypothèse, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r:s}}$ et ${\displaystyle G(k)_{x,r:s}}$ ne sont pas nécessairement isomorphes^[3].

Profondeur d'une représentation

La filtration de Moy-Prasad peut être utilisée pour définir un invariant numérique important d'une représentation lisse ${\displaystyle (\pi ,V)}$ de ${\displaystyle G(k)}$, la profondeur de la représentation : c'est le plus petit nombre ${\displaystyle r}$ tel qu'il existe ${\displaystyle x}$ dans l'immeuble de ${\displaystyle G}$, et un vecteur non nul de ${\displaystyle V}$ qui est fixé par ${\displaystyle G(k)_{x,r+}}$.

À la suite de l'article définissant leur filtration, Moy et Prasad ont prouvé un théorème de structure pour les représentations supercuspidales de profondeur nulle^[5]. Soit ${\displaystyle x}$ un point dans une face minimale de la construction de ${\displaystyle G}$ ; c'est-à-dire que le sous-groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est parahorique maximal. Le quotient ${\displaystyle G(k)_{x,0:0+}}$ est un groupe fini de type de Lie. Soit ${\displaystyle \tau }$ être l'induction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ d'une représentation cuspidale au sens de Harish-Chandra (voir aussi Théorie de Deligne-Lusztig) de ce quotient. Le groupe parahorique ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ est un sous-groupe normal d'indice fini du stabilisateur ${\displaystyle G(k)_{x}}$ de ${\displaystyle x}$ dans ${\displaystyle G(k)}$. Soit ${\displaystyle \rho }$ être une représentation irréductible de ${\displaystyle G(k)_{x}}$ dont la restriction à ${\displaystyle G(k)_{x,0}}$ contient ${\displaystyle \tau }$ comme sous-représentation. Alors l’induction compacte de ${\displaystyle \rho }$ à ${\displaystyle G(k)}$ est une représentation supercuspidale de profondeur nulle. De plus, chaque représentation supercuspidale de profondeur nulle est isomorphe à l’une de cette forme.

Dans le cas modéré, la correspondance de Langlands locale devrait préserver la profondeur, où la profondeur d'un paramètre L est définie en utilisant la filtration (en indice supérieur) sur le groupe de Weil^[6].

Construction

Même si nous avons défini ${\displaystyle x}$ se comme étant dans l'immeuble étendu de ${\displaystyle G}$, il s'avère que le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ ne dépend que de l'image de ${\displaystyle x}$ dans l'immeuble réduit.

La description suivante de la construction fait suite à l'article de Yu sur les modèles lisses^[7].

Tores

Puisque les tores algébriques constituent une classe particulière de groupes réductifs, la théorie de la filtration de Moy-Prasad s'applique. Il s’avère que la construction des sous-groupes de Moy-Prasad pour un groupe réductif général repose sur la construction de tori. Nous commençons donc par discuter du cas où ${\displaystyle G=T}$ est un tore. Puisque l'immeuble réduit d’un tore est un point, il n’y a qu’un seul choix pour ${\displaystyle x}$, et donc nous écrirons ${\displaystyle T(k)_{r}:=T(k)_{x,r}}$.

D'abord, considérons le cas particulier où ${\displaystyle T}$ est la restriction à la Weil de ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{m}}}$ le long d'une extension finie séparable ${\displaystyle \ell }$ de ${\displaystyle k}$, de sorte que ${\displaystyle T(k)=\ell ^{\times }}$. Dans ce cas, nous définissons ${\displaystyle T(k)_{r}}$ comme l'ensemble des ${\displaystyle a\in \ell ^{\times }}$ tels que${\displaystyle {\text{val}}_{k}(x-1)\geq r}$, où ${\displaystyle {\text{val}}_{k}:\ell \to \mathbb {R} }$ est l’unique extension de la valorisation de ${\displaystyle k}$ à ${\displaystyle \ell }$.

Un tore est dit induit s’il est le produit direct d’un nombre fini de tores de la forme considérée au paragraphe précédent. Le ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad d’un tore induit est défini comme le produit du ${\displaystyle r}$-ième sous-groupe de Moy-Prasad de ces facteurs.

Deuxièmement, considérons le cas où ${\displaystyle r=0}$ mais ${\displaystyle T}$ est un tore arbitraire. Ici le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle T(k)_{0}}$ est défini comme les points entiers du modèle de Néron de ${\displaystyle T}$^[8]. Cette définition coïncide avec celle donnée précédemment lorsque ${\displaystyle T}$ est un tore induit.

Il s’avère que tout tore peut être inclus dans un tore induit. Pour définir les sous-groupes de Moy-Prasad d'un tore général ${\displaystyle T}$, nous choisissons un plongement de ${\displaystyle T}$ dans un tore induit ${\displaystyle S}$ et poser ${\displaystyle T(k)_{r}:=T(k)_{0}\cap S(k)_{r}}$. Cette construction est indépendante du choix du tore induit et du plongement.

Groupes réductifs

Par souci de simplicité, nous décrirons d’abord la construction du sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ dans le cas où ${\displaystyle G}$ est scindé. Ensuite, nous commenterons la définition générale.

Soit ${\displaystyle T}$ un tore scindé maximal de ${\displaystyle G}$ dont l'appartement contient ${\displaystyle x}$, et ${\displaystyle \Phi }$ le système racine de ${\displaystyle G}$ par rapport à ${\displaystyle T}$.

Pour chaque ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, soit ${\displaystyle U_{\alpha }}$ le sous-groupe de racines de ${\displaystyle G}$ par rapport à ${\displaystyle \alpha }$. En tant que groupe abstrait ${\displaystyle U_{\alpha }}$ est isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {G} _{\text{a}}}$, de façon non-canonique. Le point ${\displaystyle x}$ détermine, pour chaque racine ${\displaystyle \alpha }$, une valuation additive ${\displaystyle v_{\alpha ,x}:U_{\alpha }(k)\to \mathbb {R} }$. Nous définissons ${\displaystyle U_{\alpha }(k)_{x,r}:=\{u\in U_{\alpha }(k):v_{\alpha ,x}(u)\geq r\}}$.

Enfin, le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ est défini comme le sous-groupe de ${\displaystyle G(k)}$ générés par les sous-groupes ${\displaystyle U_{\alpha }(k)_{x,r}}$ pour ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ et le sous-groupe ${\displaystyle T(k)_{r}}$.

Si ${\displaystyle G}$ n'est pas scindé, alors le sous-groupe de Moy-Prasad ${\displaystyle G(k)_{x,r}}$ est défini par une descendance non ramifiée du cas quasi-scindé, une astuce standard dans la théorie de Bruhat-Tits. Plus précisément, on généralise d’abord la définition des sous-groupes Moy-Prasad donnée ci-dessus au cas où ${\displaystyle G}$ n'est que quasi-divisé, à l'aide du système de racines relatif. À partir de là, le sous-groupe de Moy-Prasad peut être défini en passant à l'extension non ramifiée maximale ${\displaystyle k^{\text{nr}}}$ de ${\displaystyle k}$, un corps sur lequel tout groupe réductif, et en particulier ${\displaystyle G}$, est quasi-scindé. On descent à ${\displaystyle k}$ en prenant les points fixes de ce groupe de Moy-Prasad sous le groupe de Galois de ${\displaystyle k^{\text{nr}}}$ sur ${\displaystyle k}$.

Algèbres de Lie

Soit ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ l'algèbre de Lie de ${\displaystyle G}$. Dans une procédure similaire à celle des groupes réductifs, à savoir en définissant les filtrations de Moy-Prasad sur l'algèbre de Lie d'un tore et l'algèbre de Lie d'un groupe de racine, on peut définir les algèbres de Lie de Moy-Prasad ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ; ce sont des ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-réseaux du ${\displaystyle k}$-espace vectoriel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Quand ${\displaystyle r\geq 0}$, il se trouve que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x,r}}$ est juste l'algèbre de Lie du ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$-schéma en groupe ${\displaystyle G_{x,r}}$.

Ensemble d'indices

Nous avons défini la filtration de Moy-Prasad au point ${\displaystyle x}$ indicé par l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de nombres réels. Il est courantt d'étendre légèrement l'ensemble d'indexation, à l'ensemble ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {R} }}}$ composé de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ et symboles formels ${\displaystyle r+}$ avec ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$. L'élément ${\displaystyle r+}$ est considéré comme étant infinitésimalement plus grand que ${\displaystyle r}$, et la filtration est étendue à ce cas en définissant ${\displaystyle G(k)_{x,r+}:=\bigcup _{s>r}G(k)_{x,s}}$.

Notes

1. Bruhat et Tits 1972, Section 6.4.
2. Moy et Prasad 1994.
3. Yu 2015, section 5.
4. Hakim et Murnaghan 2010, Section 2.5.
5. Moy et Prasad 1996, Proposition 6.6.
6. Chen et Kamgarpour 2014, Section 1.
7. Yu 2015.
8. Bosch, Lütkebohmert et Raynaud 1990, Chapter 10.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Moy–Prasad filtration » (voir la liste des auteurs).
• Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert et Michel Raynaud, Néron models, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete » (n^o 21), 1990 (ISBN 978-3-540-50587-7, DOI 10.1007/978-3-642-51438-8, MR 1045822)
• François Bruhat et Jacques Tits, « Groupes réductifs sur un corps local », Publications mathématiques de l'IHÉS, vol. 41, n^o 1,‎ 1972, p. 5-251 (ISSN 0073-8301, DOI 10.1007/BF02715544, MR 0327923, lire en ligne)
• (en) Tsao-Hsien Chen et Masoud Kamgarpour, « Preservation of depth in local geometric Langlands correspondence », 2014.
• J. Hakim et F. Murnaghan, « Distinguished Tame Supercuspidal Representations », International Mathematics Research Papers, Oxford University Press,‎ 8 juillet 2010 (ISSN 1687-3017, DOI 10.1093/imrp/rpn005, MR 2431732, arXiv 0709.3506)
• Allen Moy et Gopal Prasad, « Unrefined minimal K-types for p-adic groups », Inventiones Mathematicae, vol. 116, n^o 1,‎ 1994, p. 393-408 (ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01231566, MR 1253198, hdl 2027.42/46580 )
• Allen Moy et Gopal Prasad, « Jacquet functors and unrefined minimal K-types », Commentarii Mathematici Helvetici, European Mathematical Society Publishing House, vol. 71, n^o 1,‎ 1996, p. 98-121 (ISSN 0010-2571, DOI 10.1007/bf02566411, MR 1371680)
• Jiu-Kang Yu, « Smooth models associated to concave functions in Bruhat-Tits theory », dans Autour des schémas en groupes, Vol. III, Société mathématique de France, coll. « Panoramas et Synthèses » (n^o 47), 2015 (MR 3525846), p. 227-258

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