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En géométrie, il existe plusieurs façons (géométrique, combinatoire) de mettre les polyèdres en dualité : on peut se passer de support géométrique et définir une notion de dualité en termes purement combinatoires, qui s'étend d'ailleurs aux polyèdres et polytopes abstraits. Dans chaque cas, à tout polyèdre est associé un polyèdre appelé dual du premier, tel que :
L'exemple le plus simple de dualité s'obtient pour les polyèdres réguliers convexes en reliant les centres des faces adjacentes (voir § Dualité des solides de Platon).
On peut aussi utiliser la construction dite de Dorman Luke indiquée plus loin.
Plus généralement, on définit une dualité en considérant l'opération de conjugaison par rapport à la sphère circonscrite.
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Le dual du cube est l'octaèdre[1]. | Le dual de l'octaèdre est le cube[1]. |
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Le dual du dodécaèdre est l'icosaèdre[1]. | Le dual de l'icosaèdre est le dodécaèdre[1]. |
solide régulier convexe | dual régulier convexe | ||
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tétraèdre | ![]() |
tétraèdre | ![]() |
cube | ![]() | octaèdre | ![]() |
octaèdre | ![]() | cube | ![]() |
icosaèdre | ![]() | dodécaèdre régulier | ![]() |
dodécaèdre régulier | ![]() | icosaèdre | ![]() |
Le petit dodécaèdre étoilé est le dual du grand dodécaèdre, et le grand dodécaèdre étoilé est le dual du grand icosaèdre.
(Voir l'article Solide de Kepler-Poinsot.)
solide régulier non-convexe | dual régulier non-convexe | ||
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petit dodécaèdre étoilé | ![]() | grand dodécaèdre | ![]() |
grand dodécaèdre étoilé | ![]() | grand icosaèdre | ![]() |
Les duaux des solides d'Archimède sont les solides de Catalan[1].
Les duaux des prismes sont les diamants (ou bipyramides)[1].
Les duaux des antiprismes sont les antidiamants (ou trapézoèdres)[1].
solide convexe non uniforme, mais tous ses sommets sont du même ordre (3) |
dual convexe non isoédral, mais toutes ses faces sont du même ordre (3) | ||
géode en nid d'abeille | ![]() | géode par triangulation | ![]() |
Pour un polyèdre uniforme, les faces du polyèdre dual peuvent être trouvées à partir des figures de sommets du polyèdre d'origine en utilisant la construction dite de Dorman Luke.
À titre d'exemple, l'illustration ci-dessous montre une figure de sommet (rouge) du cuboctaèdre utilisée pour obtenir une face (bleue) du dodécaèdre rhombique.
Détails de la construction de Dorman Luke :
Dans cet exemple, le cercle circonscrit à la figure de sommet se trouve sur l'intersphère du cuboctaèdre, qui devient également l'intersphère du dodécaèdre rhombique dual.
La construction de Dorman Luke ne peut être utilisée que lorsqu'un polyèdre a une telle intersphère et que la figure de sommet est circulaire. En particulier, elle peut être appliquée aux polyèdres uniformes.