Dimension de Krull
Définition algébrique de la dimension d'un espace De Wikipédia, l'encyclopédie libre
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En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie algébrique, la taille et la complexité d'une variété algébrique (ou d'un schéma) est d'abord mesurée par sa dimension. Elle est fondée sur la topologie de Zariski et coïncide avec l'intuition dans le cas des espaces affines.
Soit un espace topologique. On dit que est irréductible si tout ouvert non vide de est partout dense dans . Cela revient à dire que si et sont deux parties fermées dont la réunion est égale à , alors l'une d'entre elles est égale à .
Une partie de est dite irréductible si elle est irréductible pour la topologie induite.
Dans un espace irréductible, tout ouvert non vide est dense.
Un point d'un espace topologique est appelé un point générique si son adhérence est égale à tout entier. Si un point générique existe, est irréductible. Inversement, l'espace topologique sous-jacent à un schéma est irréductible si et seulement s'il admet un point générique. Celui-ci est alors unique.
Exemples :
Une composante irréductible de est une partie (nécessairement fermée) de irréductible et qui n'est strictement contenue dans aucune autre partie irréductible de .
Le lemme de Zorn implique que tout point appartient à une composante irréductible (la partie {} est irréductible, et on considère l'ensemble des parties irréductibles contenant ). Ainsi est la réunion de ses composantes irréductibles.
Dans le cas des variétés algébriques ou plus généralement des schémas noethériens, les composantes irréductibles sont en nombre fini. De plus, si un espace topologique ayant cette propriété de finitude est recouvert par un nombre fini de parties fermées irréductibles sans relation d'inclusion entre elles, alors ces parties fermées sont exactement les composantes irréductibles de . Pour l'ensemble des nombres réels avec la topologie usuelle, tout point est une composante irréductible.
Une chaîne de longueur dans est une suite strictement croissante
de parties fermées irréductibles de . La dimension de Krull de est le supremum (éventuellement infini) des longueurs respectives des chaînes dans . L'ensemble vide est de dimension par convention. La dimension de est le supremum des dimensions respectives de ses composantes irréductibles.
Exemples :
Remarque : Pour un schéma noethérien , la dimension de Krull peut être déterminée de façon similaire à la dimension topologique.
Si X est de dimension finie, alors toute partie Y de X est de dimension finie, inférieure ou égale à la dimension de X. Cela se voit en prenant une chaîne de parties fermées irréductibles de Y et en considérant leurs adhérences dans X.
Si X est irréductible de dimension finie, alors une partie fermée Y est égale à X si et seulement si elle a la même dimension que X.
Soit Y un fermé irréductible de X. La codimension de Y (dans X) est le supremum des entiers n tels qu'il existe une chaîne de longueur n
formée de parties irréductibles de X contenant Y.
Pour une partie fermée Y quelconque, la codimension de Y dans X est la borne inférieure des codimensions dans X des composantes irréductibles de Y.
Exemple : On a si et seulement si Y contient une composante irréductible de X.
On a toujours . L'égalité n'a pas toujours lieu, même quand X et Y sont irréductibles. Si est une suite emboitée de parties fermées irréductibles de X, on a
Un schéma noethérien dans lequel cette égalité est toujours vérifiée est dit caténaire[1].
Si X est le spectre d'un anneau local noethérien A et si f appartient à l'idéal maximal de A et n'est pas diviseur de zéro, alors le fermé est de codimension 1 dans X. C'est une conséquence du théorème des idéaux principaux de Krull. Dans une variété algébrique intègre, une hypersurface (c'est-à-dire l'ensemble des zéros d'une fonction régulière non nulle ni inversible) est de codimension 1.
Soit A un anneau commutatif (unitaire). Sa dimension de Krull est par définition la dimension de Krull de Spec(A).
Exemples
Propriétés
La variété algébrique affine sur un corps est de dimension . Lorsque est algébriquement clos, l'espace sous-jacent de cette variété est qui est un espace affine de dimension (linéaire) . La dimension d'une hypersurface dans (c'est-à-dire l'ensemble des zéros d'un polynôme non constant) est . En particulier, l'ensemble des zéros d'un polynôme à deux variables est de dimension 1 (une courbe algébrique).
Sur le corps des réels, les points réels d'une variété algébrique de dimension sans point singulier forment une variété différentielle de dimension (ou vide si la variété algébrique n'a pas de point réel comme la courbe ).
Sur le corps des nombres complexes, toute variété algébrique peut être vue comme un espace analytique complexe. Les dimensions algébriques et analytiques complexes coïncident.
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