Développée

En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.

Développée comme lieu des centre de courbure : La développée (parabole semi-cubique, en rouge vermillon) de la parabole bleue est à la fois l'ensemble des centres des cercles osculateurs (rouge carmin) et l'enveloppe des normales (vertes).

Développée comme enveloppe des normales, ici la développée (en bleu) d'une ellipse (c'est l'image par une dilatation d'une astroïde).

Histoire

Apollonius (aux environs de 200 av. J.-C.) a discuté des développées dans le Livre V de ses Coniques. Cependant, Huygens est parfois crédité pour avoir été le premier à les étudier (1673). Huygens a formulé sa théorie des développées vers 1659 pour aider à résoudre le problème de la recherche de la courbe tautochrone, qui à son tour l'a aidé à construire un pendule isochrone. En effet, la courbe tautochrone est une cycloïde et la cycloïde a la propriété unique que sa développée est également une cycloïde. La théorie des développées, en fait, a permis à Huygens d'obtenir de nombreux résultats qui seront plus tard trouvés en utilisant l'algèbre^[1].

Développée d'une courbe paramétrique

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$, le centre de courbure s'obtient en posant

${\displaystyle {\vec {g}}(s)={\overrightarrow {O\Omega (s)}}={\vec {f}}(s)+\gamma (s)^{-1}{\vec {N}}(s)}$

où ${\displaystyle \Omega }$ est le centre de courbure, ${\displaystyle \gamma }$ la courbure et ${\displaystyle {\vec {N}}}$ le vecteur normal au point ${\displaystyle {\vec {f}}(s)}$.

Le vecteur dérivé de la développée est

${\displaystyle {\vec {g'}}(s)={\vec {f'}}(s)+\gamma (s)^{-1}{\vec {N'}}(s)-{\frac {\gamma '(s)}{\gamma (s)^{2}}}{\vec {N}}(s)=-{\frac {\gamma '(s)}{\gamma (s)^{2}}}{\vec {N}}(s)}$

en utilisant les formules de Frenet. On vérifie ainsi que :

• les points stationnaires de la développée g correspondent aux points où la dérivée de la courbure de f s'annule, en particulier les sommets de f (points de courbure extrémale) ;
• entre deux tels points, la tangente à la développée g au point de paramètre s est la normale à la courbe f.

Pour ${\displaystyle {\vec {f}}(t)=(x(t),y(t))^{\mathsf {T}}}$ et ${\displaystyle {\vec {g}}=(X,Y)^{\mathsf {T}}}$ on obtient$${\displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\left(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\right)}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}}$$et$${\displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\left(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\right)}{x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)}}.}$$

Propriétés de la développée

La normale au point P est la tangente au centre de courbure C.

Afin de dériver les propriétés d'une courbe régulière, il est avantageux d'utiliser la longueur de l'arc ${\displaystyle s}$ de la courbe donnée comme paramètre, car ${\textstyle \left|{\vec {c}}'\right|=1}$ et ${\textstyle {\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho }$ (voir formules de Frenet-Serret). D'où le vecteur tangent de la développée ${\textstyle {\vec {g}}={\vec {f}}+\rho {\vec {n}}}$ est :$${\displaystyle {\vec {g}}'={\vec {f}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$$

De cette équation on obtient les propriétés suivantes de la développée :

• Aux points avec ${\displaystyle \rho '=0}$ la développée n'est pas régulière. Cela signifie qu'aux points de courbure maximale ou minimale (sommets de la courbe donnée) la développée a des cuspides (c'est ce qu'on observe sur les développées de parabole, d'ellipse, de cycloïde et de néphroïde).
• Pour tout arc de la développée qui n'inclut pas de cuspide, la longueur de l'arc est égale à la différence entre les rayons de courbure à ses extrémités. Ce fait conduit à une preuve simple du théorème de Tait-Kneser (en) sur l'emboîtement des cercles osculateurs^[2].
• Les normales de la courbe donnée aux points de courbure non nulle sont des tangentes à la développée, et les normales de la courbe aux points de courbure nulle sont des asymptotes à la développée. Donc : la développée est l'enveloppe des normales de la courbe donnée.
• Aux sections de la courbe avec ${\displaystyle \rho '>0}$ ou ${\displaystyle \rho '<0}$ la courbe est une développante de sa développée. (Dans le diagramme : la parabole bleue est une développante de la parabole semi-cubique rouge, qui est en fait la développée de la parabole bleue).

Preuve de la dernière propriété

on suppose ${\displaystyle \rho '>0}$ à la section de considération. Une développante de la développée peut être décrite comme suit :$${\displaystyle {\vec {F}}_{0}={\vec {G}}-{\frac {{\vec {\gamma }}'}{\left|{\vec {\gamma }}'\right|}}\left(\int _{0}^{s}\left|{\vec {\gamma }}'(w)\right|\mathrm {d} w+l_{0}\right),}$$ où ${\displaystyle l_{0}}$ est une extension de chaîne fixe (voir Développante d'une courbe paramétrée). Avec ${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {f}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {\gamma }}'=\rho '{\vec {n}}}$ et ${\displaystyle \rho '>0}$ on obtient$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {f}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\left(\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}\right)={\vec {f}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\,.}$$Cela signifie que pour l'extension de chaîne ${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$ la courbe donnée est reproduite.

• Deux courbes parallèles ont même développée.

Preuve

Une courbe parallèle à la distance ${\displaystyle d}$ hors de la courbe donnée a la représentation paramétrique ${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$ et le rayon de courbure ${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$ (voir courbe parallèle ). La développée de la courbe parallèle est donc$${\displaystyle {\vec {g}}_{d}={\vec {f}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {f}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {f}}+\rho {\vec {n}}={\vec {g}}\;.}$$

Exemples

Développée d'une parabole

Pour la parabole avec la représentation paramétrique ${\displaystyle (t,t^{2})}$ on obtient des formules au-dessus les équations : $${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$$$${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\,,}$$ qui décrit une parabole semi-cubique.

Développée d'une ellipse

Développée (rouge) d'une ellipse.

Pour l'ellipse avec la représentation paramétrique ${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$ on obtient^[3] : $${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$$ $${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$$

Ce sont les équations d'un astroïde non symétrique. Éliminer ${\displaystyle t}$ conduit à la représentation implicite$${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$$

Cycloïde (bleu), son cercle osculateur (rouge) et sa développée (vert).

Développée d'une cycloïde

Pour la cycloïde avec la représentation paramétrique ${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$ la développée sera : $${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$$ $${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$$qui décrit une réplique transposée d'elle-même.

Développées de quelques courbes

La développée du grand néphroïde (bleu) est le petit néphroïde (rouge).

La développée

• d'une parabole est une parabole semi-cubique (voir ci-dessus),
• d'une ellipse est un astroïde non symétrique (voir ci-dessus),
• d'une droite est un point à l'infini,
• d'un néphroïde est un néphroïde (moitié moins gros, voir schéma),
• d'un astroïde est un astroïde (deux fois plus grand),
• d'une cardioïde est une cardioïde (un tiers plus grande),
• d'un cercle est son centre,
• d'un deltoïde est un deltoïde (trois fois plus grand),
• d'une cycloïde est une cycloïde isométrique,
• d'une spirale logarithmique est la même spirale logarithmique,
• d'une tractrice est une chaînette.

Courbe radiale

Une courbe avec une définition similaire est la radiale d'une courbe donnée. Pour chaque point de la courbe, on prend le vecteur du point au centre de courbure, qu'on translate de sorte qu'il commence à l'origine. Alors le lieu des points à la fin de tels vecteurs est appelé la radiale de la courbe. L'équation de la radiale est obtenue en supprimant les termes x et y de l'équation de la développée. Cela produit$${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right).}$$

Voir aussi

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• Développée, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

• Courbe développante
• Développante du cercle
• Radiale d'une courbe

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Evolute » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Joella G. Yoder, Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press, 2004.
2. Ghys, Tabachnikov et Timorin, « Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem », The Mathematical Intelligencer, vol. 35, n^o 1,‎ 2013, p. 61–66 (DOI 10.1007/s00283-012-9336-6, MR 3041992, arXiv 1207.5662)
3. R. Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung.

• (en) Eric W. Weisstein, « Evolute », sur MathWorld.
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff

Liens externes

• « Développée d'une courbe », sur mathcurve.com
• « Radiale d'une courbe », sur mathcurve.com

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