Les coordonnées de Kruskal-Szekeres [1]
v
,
u
,
θ
,
ϕ
{\displaystyle v,u,\theta ,\phi }
[2] coordonnées d'espace-temps [3] extension de Kruskal-Szekeres [4] analytique maximale de la métrique de Schwarzschild [4] I II III IV : les régions I II trou noir ; les régions III IV trou blanc [5]
L'extension de Kruskal-Szekeres décrit un trou noir éternel[6]
Les éponymes des coordonnées et de l'extension sont le mathématicien et physicien américain Martin D. Kruskal (1925 -2006 ) et le mathématicien hungaro -australien György (George) Szekeres (1911 -2005 ) qui les ont tous deux proposées en 1960 trou noir de Schwarzschild [7] , [8] , [9]
En coordonnées de Kruskal-Szekeres, la métrique de Schwarzschild s'écrit[10] :
d
s
2
=
32
G
3
M
3
r
c
6
exp
(
−
r
c
2
2
G
M
)
(
d
v
2
−
d
u
2
)
−
r
2
(
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
)
{\displaystyle ds^{2}={\frac {32G^{3}M^{3}}{rc^{6}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {rc^{2}}{2GM}}\right)\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\right)}
où :
Avec
R
S
=
2
G
M
/
c
2
{\displaystyle R_{\mathrm {S} }=2GM/c^{2}}
cf. rayon de Schwarzschild ),
exp
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle \operatorname {exp} \left(x\right)=e^{x}}
cf. fonction exponentielle ) et
d
Ω
2
=
d
θ
2
+
sin
2
θ
d
ϕ
2
{\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}
cf. angle solide ), elle s'écrit :
d
s
2
=
4
R
S
3
r
e
−
r
R
S
(
d
v
2
−
d
u
2
)
−
r
2
d
Ω
2
{\displaystyle ds^{2}={\frac {4R_{\mathrm {S} }^{3}}{r}}\,e^{-{\frac {r}{R_{\mathrm {S} }}}}\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}d\Omega ^{2}}
En unités géométriques (
c
=
G
=
1
{\displaystyle c=G=1}
:
d
s
2
=
32
M
3
r
e
−
r
2
M
(
d
v
2
−
d
u
2
)
−
r
2
d
Ω
2
{\displaystyle ds^{2}={\frac {32M^{3}}{r}}\,e^{-{\frac {r}{2M}}}\left(dv^{2}-du^{2}\right)-r^{2}d\Omega ^{2}}
En décembre 1915 , Karl Schwarzschild décrit la première solution exacte des équations d'Einstein , qui fait apparaitre une singularité inattendue, le rayon de Schwarzschild , dont la nature reste longtemps mal comprise.
En 1924, Arthur Eddington ébauche le premier système de coordonnées non singulier à ce fameux rayon[11] Georges Lemaître élabore une métrique synchrone (métrique de Lemaître ) ; David Finkelstein en découvre une autre, non-synchrone, en 1958[12] métrique d'Eddington-Finkelstein . Synge démontrera que cette dernière métrique ne recouvre qu'une partie de la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild[13] : ces métriques ne permettent pas d'envisager tous les cas dynamiques d'un corps dans l'environnement d'un trou noir de Schwarzschild . Elles ont toutefois montré que ce rayon n'est pas une singularité réelle, physique, mais seulement pour la métrique choisie par Schwarzschild.
En 1960 , Martin Kruskal et George Szekeres construisent une nouvelle métrique permettant d'étudier tous les types de mouvements d'un corps à l'extérieur et sous le rayon de Schwarzschild[14]
Convention : la signature de la métrique est (– + + +).
Kruskal et Szekeres utilisent des coordonnées sans dimension,
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
(
1
−
R
s
r
)
{\displaystyle (1-\textstyle {\frac {R_{s}}{r}})}
r
(
u
,
v
)
,
t
(
u
,
v
)
{\displaystyle r(u,v),t(u,v)}
Les variables
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
:
u
2
−
v
2
=
(
r
R
s
−
1
)
e
r
R
s
{\displaystyle u^{2}-v^{2}=(\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}-1)e^{\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}}}
u
+
v
u
−
v
=
e
c
t
R
s
{\displaystyle \textstyle {\frac {u+v}{u-v}}=e^{\textstyle {\frac {ct}{R_{s}}}}}
Les coordonnées
u
{\displaystyle u}
v
{\displaystyle v}
r
{\displaystyle r}
t
{\displaystyle t}
[15] , [16] :
u
=
{
(
r
2
M
−
1
)
e
r
4
M
ch
(
t
4
M
)
,
si
r
>
2
M
(
r
2
M
−
1
)
e
r
4
M
sh
(
t
4
M
)
,
si
r
<
2
M
{\displaystyle u={\begin{cases}\left({\sqrt {{\frac {r}{2M}}-1}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {ch} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r>2M\\\left({\sqrt {{\frac {r}{2M}}-1}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {sh} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r<2M\end{cases}}}
et par[15] , [16] :
v
=
{
(
1
−
r
2
M
)
e
r
4
M
sh
(
t
4
M
)
,
si
r
>
2
M
(
1
−
r
2
M
)
e
r
4
M
ch
(
t
4
M
)
,
si
r
<
2
M
{\displaystyle v={\begin{cases}\left({\sqrt {1-{\frac {r}{2M}}}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {sh} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r>2M\\\left({\sqrt {1-{\frac {r}{2M}}}}\right)e^{\frac {r}{4M}}\operatorname {ch} \left({\frac {t}{4M}}\right),&{\text{si }}r<2M\end{cases}}}
On distingue deux cas pour le temps :
si
r
(
u
,
v
)
>
R
s
{\displaystyle r(u,v)>R_{s}}
tanh
c
t
2
R
s
=
v
u
{\displaystyle \tanh {\frac {ct}{2R_{s}}}={\frac {v}{u}}}
;
si
r
(
u
,
v
)
<
R
s
{\displaystyle r(u,v)<R_{s}}
tanh
c
t
2
R
s
=
u
v
{\displaystyle \tanh {\frac {ct}{2R_{s}}}={\frac {u}{v}}}
On obtient la métrique diagonale :
d
s
2
=
4.
R
s
3
r
e
−
r
R
s
(
d
u
2
−
d
v
2
)
+
r
2
(
d
θ
2
+
s
i
n
2
θ
d
ϕ
2
)
{\displaystyle ds^{2}={\frac {4.R_{s}^{3}}{r}}e^{-\textstyle {\frac {r}{R_{s}}}}(du^{2}-dv^{2})+r^{2}(d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\phi ^{2})}
qui est définie pour tout
r
(
u
,
v
)
>
0
{\displaystyle r(u,v)>0}
t est par contre infini au rayon de Schwarzschild (
u
=
±
v
{\displaystyle u=\pm v}
Remarque Les coordonnées de Kruskal-Szekeres sont parfois notées
(
U
,
V
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle \left(U,V,\theta ,\varphi \right)}
[17]
En unités géométriques
(
c
=
G
=
1
)
{\displaystyle \left(c=G=1\right)}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
[18] , [19] , [20] :
{
U
=
−
e
−
κ
u
=
−
e
−
u
4
m
V
=
e
κ
v
=
e
v
4
m
{\displaystyle {\begin{cases}U=-\mathrm {e} ^{-\kappa u}=-\mathrm {e} ^{-{\frac {u}{4m}}}\\V=\mathrm {e} ^{\kappa v}=\mathrm {e} ^{\frac {v}{4m}}\end{cases}}}
où[17] :
κ
=
1
4
m
{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4m}}}
gravité de surface ,et
u
{\displaystyle u}
v sont deux coordonnées de genre lumière[21] :
u
{\displaystyle u}
temps retardé [22] [23] , [24] , [25] :
u
=
t
−
r
⋆
{\displaystyle u=t-r_{\star }}
v
{\displaystyle v}
temps avancé [22] [23] , [24] [26] :
v
=
t
+
r
⋆
{\displaystyle v=t+r_{\star }}
où :
r
⋆
=
r
+
2
m
ln
(
r
2
m
−
1
)
{\displaystyle r_{\star }=r+2m\ln \left({\frac {r}{2m}}-1\right)}
où :
r
{\displaystyle r}
;
ln
{\displaystyle \ln }
logarithme naturel . Avec les coordonnées
(
U
,
V
)
{\displaystyle \left(U,V\right)}
[32] :
d
s
2
=
−
32
m
3
r
e
−
r
2
m
d
U
d
V
+
d
Ω
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=-{\frac {32m^{3}}{r}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}\mathrm {d} U\mathrm {d} V+\mathrm {d} \Omega ^{2}}
Les coordonnées de Kruskal-Szekeres sont parfois notées
(
T
,
X
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle \left(T,X,\theta ,\varphi \right)}
T
{\displaystyle T}
X
{\displaystyle X}
[29] , [33] :
{
T
=
U
+
V
2
X
=
V
−
U
2
{\displaystyle {\begin{cases}T={\frac {U+V}{2}}\\X={\frac {V-U}{2}}\end{cases}}}
La métrique de Schwarzschild s'écrit alors[34] :
d
s
2
=
32
m
3
r
e
−
r
2
m
(
−
d
T
2
+
d
X
2
)
+
d
Ω
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\frac {32m^{3}}{r}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}\left(-\mathrm {d} T^{2}+\mathrm {d} X^{2}\right)+\mathrm {d} \Omega ^{2}}
Les coordonnées
(
t
,
r
)
{\displaystyle \left(t,r\right)}
(
T
,
X
)
{\displaystyle \left(T,X\right)}
[35] :
(
r
2
m
−
1
)
e
−
r
2
m
=
X
2
−
T
2
{\displaystyle \left({\frac {r}{2m}}-1\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {r}{2m}}}=X^{2}-T^{2}}
t
2
m
=
ln
(
T
+
X
X
−
T
)
{\displaystyle {\frac {t}{2m}}=\ln \left({\frac {T+X}{X-T}}\right)}
Deza et Deza 2012 , partie VI chap. 26sec. 26.2, s.v. p. 512. Synge, J. L., The gravitational field of a particule , 1950, Proc. R. Irish Acad. A 53, 83-114.
Wald 1984 , chap. 6§ 6.4p. 153 (6.4.26) et (6.4.27). Wald 1984 , chap. 6§ 6.4p. 153 (6.4.30) et (6.4.31).
Articles originaux de Kruskal et Szekeres
[Kruskal 1960] (en) M. D. Kruskal Maximal extension of Schwarzschild metric » [« Extension maximale de la métrique de Schwarzschild »], Phys. Rev. vol. 119, no 5, sept. 1960p. 1743-1745 (DOI 10.1103/PhysRev.119.1743 Bibcode 1960PhRv..119.1743K résumé ) [Szekeres 1960] (en) G. Szekeres On the singularities of a Riemannian manifold » [« Sur les singularités d'une variété riemannienne »], Publ. Math. (Debr.) vol. 7, 1960 , p. 285-301 (Bibcode 1960PMatD...7..285S Bibliographie
: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.
[Carlip 2019] (en) Steven Carlip , General relativity : a concise introduction , Oxford, OUP , hors coll. , janvier 2019 , 1re éd. , 154 p. , 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-882215-8 978-0-19-882216-5 EAN 9780198822158 OCLC 1103604852 DOI 10.1093/oso/9780198822158.001.0001 SUDOC 233763201 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Dick 2019] Rainer Dick , Special and general relativity : an introduction to spacetime and gravitation , Bristol et San Rafael, IOP Publishing et Morgan & Claypool Publishers, coll. « IOP concise physics / a Morgan & Claypool publication », février 2019 , 1re éd. , 150 p. , 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-64327-377-8 EAN 9781643273778 OCLC 1089442947 DOI 10.1088/2053-2571/aaf173 SUDOC 236460935 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Faraoni 2015] (en) Valerio Faraoni , Cosmological and black hole apparent horizons , Cham, Springer , coll. « Lecture notes in physics » (no 907), juillet 2015 , 1re éd. , XVI p. , 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-319-19239-0 EAN 9783319192390 OCLC 920717522 DOI 10.1007/978-3-319-19240-6 Bibcode 2015LNP...907.....F SUDOC 187688281 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Ferrari, Gualtieri et Pani 2020] (en) Valeria Ferrari , Leonardo Gualtieri et Paolo Pani , General relativity and its applications : black holes, compact stars and gravitational waves [« La relativité générale et ses applications : trous noirs, étoiles compactes et ondes gravitationnelles »], Boca Raton, CRC , hors coll. , décembre 2020 , 1re éd. , XVIII p. , 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-1-138-58977-3 978-0-367-62532-0 EAN 9781138589773 OCLC 1247682853 DOI 10.1201/9780429491405 SUDOC 255050844 résumé , présentation en ligne , lire en ligne ) [Guidry 2019] (en) Mike Guidry , Modern general relativity : black holes, gravitational waves, and cosmology , Cambridge, CUP , hors coll. , janvier 2019 , 1re éd. , XXV p. , 19,3 × 25,2 cm (ISBN 978-1-107-19789-3 EAN 9781107197893 OCLC 1104326226 BNF 45697452 DOI 10.1017/9781108181938 Bibcode 2019mgrb.book.....G présentation en ligne , lire en ligne ) . [Deza et Deza 2012] (en) Michel Marie Deza et Elena Deza , Encyclopedia of distances [« Encyclopedie des distances »], Berlin et Heidelberg, Springer , hors coll. , octobre 2012 , 2e éd. (1re éd. octobre 2006 ), XVIII p. , 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-30957-1 EAN 9783642309571 OCLC 882913405 DOI 10.1007/978-3-642-30958-8 SUDOC 179399292 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet , Loïc Villain et Pascal Febvre , Dictionnaire de physique , Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur , hors coll. , janvier 2018 , 4e éd. (1re éd. mai 2008 ), X p. , 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5 EAN 9782807307445 OCLC 1022951339 BNF 45646901 SUDOC 224228161 présentation en ligne , lire en ligne ) , s.v. p. 414-415. [Deruelle et Uzan 2018] (en) Nathalie Deruelle et Jean-Philippe Uzan (trad. du français par Patricia de Forcrand-Millard), Relativity in modern physics [« Théories de la relativité »], Oxford, OUP , coll. « Oxford graduate texts », août 2018 , 1re éd. , XI p. , 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-878639-9 EAN 9780198786399 OCLC 1109749749 BNF 45570670 DOI 10.1093/oso/9780198786399.001.0001 SUDOC 229944329 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Grumiller et Sheikh-Jabbar 2022] (en) Daniel Grumiller et Mohammad Mehdi Sheikh-Jabbari , Black hole physics : from collapse to evaporation [« Physique des trous noirs : de l'effondrement à l'évaporation »], Cham, Springer , coll. « Graduate texts in physics », novembre 2022 (réimpr. novembre 2023 ), 1re éd. , XXVIII p. , 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-3-031-10342-1 978-3-031-10345-2 EAN 9783031103421 OCLC 1322812525 DOI 10.1007/978-3-031-10343-8 présentation en ligne , lire en ligne ) . [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] Michael Paul Hobson , George Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Université , coll. « Noire », décembre 2009 , 1re éd. , XX p. , 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8 EAN 9782804101268 OCLC 690272413 BNF 42142174 SUDOC 140535705 présentation en ligne , lire en ligne ) , chap. 11 Trous noirs de Schwarzschild »), § 11.9 Coordonnées de Kruskal »), p. 261-267Ouvrages fondamentaux
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[Szeftel 2013] Jérémie Szeftel , « Introduction à la relativité générale d'un point de vue mathématique », base Gargantua de l'École polytechnique , déc. 2013p. 79 p. , chap. 6 Exemples de solutions explicites »), sections 6.2 (« Solution de Schwarzschild »), 6.2.1. (« Solution et extension maximale »), p. 59-61 (lire en ligne ) 
