Convergence normale

En analyse, la convergence normale est l'un des modes de convergence d'une série de fonctions. Si ${\displaystyle (f_{n})}$ est une suite de fonctions à valeurs réelles ou complexes définies sur un même ensemble X, la série de terme général ${\displaystyle f_{n}}$ converge normalement sur X s'il existe une suite de réels u_n tels que :

1. pour tout n, ${\displaystyle |f_{n}|}$ est majorée par u_n sur X ;
2. la série de terme général u_n converge.

La convergence normale d'une telle série implique sa convergence uniforme^[1]. Par conséquent, tous les résultats qui concernent la convergence uniforme sont aussi valables pour la convergence normale. En particulier, si l'ensemble X est muni d'une topologie :

La somme d'une série de fonctions continues qui converge normalement est une fonction continue.

La convergence normale d'une série implique également sa convergence absolue en tout point.

A fortiori, la convergence normale d'une série implique sa convergence simple, autrement dit la convergence de la série en tout point.

Les implications réciproques sont fausses.

Histoire

Cette notion a été introduite par Karl Weierstrass, et baptisée « convergence normale » par René Baire^[2].

Espaces vectoriels normés

Les fonctions bornées sur X à valeurs réelles ou complexes, munies de la norme infinie, forment un espace de Banach, c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. La convergence normale d'une série de telles fonctions se réinterprète comme la convergence absolue dans cet espace : la série de terme général ${\displaystyle f_{n}}$ converge normalement sur X si

${\displaystyle \sum _{n}{\|f_{n}\|}_{\infty }<\infty }$.

Exemples

• La série de terme général ${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}}$ converge normalement sur tout compact de R\Z.

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}}$^[3].

• Soit ${\displaystyle g_{n}}$ le produit de ${\displaystyle 1/n}$ par la fonction indicatrice de l'intervalle ${\displaystyle \left[n,n+1\right[}$. La série ${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {N} ^{*}}g_{n}}$ n'est pas normalement convergente (${\displaystyle {\|g_{n}\|}_{\infty }=1/n}$) mais elle est uniformément convergente (${\displaystyle \|\sum _{n\geq N}g_{n}{\|}_{\infty }=1/N}$).
• Évoquer l'argument de convergence normale est une façon élégante de prouver la continuité de la courbe de Takagi.

Propriétés

• Toute combinaison linéaire de séries normalement convergentes est normalement convergente.
• Tout produit de séries normalement convergentes est normalement convergent.

Notes et références

1. Jacques Dixmier, Topologie générale, Paris, PUF, 1981, 164 p. (ISBN 2-13-036647-3, OCLC 417477300), p. 81, théorème 6.1.10.
2. René Baire, Leçons sur les théories générales de l'analyse, t. 2, Paris, Gauthier-Villars, 1908 (lire en ligne), p. vii.
3. (en) Reinhold Remmert, Theory of Complex Functions, Springer, 1991, 453 p. (ISBN 978-0-387-97195-7, lire en ligne), p. 327.

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