Fonction caractéristique (théorie des ensembles)

En mathématiques, une fonction caractéristique, ou fonction indicatrice, est une fonction définie sur un ensemble E qui explicite l’appartenance ou non à un sous-ensemble F de E de tout élément de E.

Le graphe de la fonction indicatrice d'un sous-ensemble à deux dimensions d'un carré.

Formellement, la fonction caractéristique d’un sous-ensemble F d’un ensemble E est une fonction :

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\chi _{F}:E&\longrightarrow &\{0,1\}\\x&\longmapsto &\left\{{\begin{matrix}1\ {\mbox{si}}\ x\ \in \ F\\0\ {\mbox{si}}\ x\ \notin \ F\end{matrix}}\right.\end{array}}}$

D'autres notations souvent employées pour la fonction caractéristique de F sont 1_F et 𝟙_F, voire I (i majuscule).

Le terme de fonction indicatrice est parfois utilisé pour fonction caractéristique. Cette dénomination évite la confusion avec la fonction caractéristique utilisée en probabilité mais en induit une autre, avec la fonction indicatrice en analyse convexe.

(Attention : la fonction 1_F peut désigner aussi la fonction identité).

Propriétés

Le principal intérêt de ces fonctions est de transformer des relations entre ensembles en relations entre des fonctions^[1].

Si A et B sont deux sous-ensembles de E alors

${\displaystyle \left(A\subseteq B\right)\ \Leftrightarrow \ \left(\chi _{A}\leq \chi _{B}\right)}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\overline {A}}&=1-\chi _{A},\\\chi _{A\cap B}&=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}=\chi _{A}\times \chi _{B},\\\chi _{A\cup B}&=\max\{{\chi _{A},\chi _{B}}\}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\times \chi _{B},\\\chi _{A\triangle B}&=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\times \chi _{B}.\end{aligned}}}$

L'application

${\displaystyle \chi$ :{\mathcal {P}}(E)\to \{0,1\}^{E},\quad A\mapsto \chi _{A}}

est une bijection, de l'ensemble ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ des parties de E dans l'ensemble {0, 1}^E des applications de E dans {0, 1}.

Sa bijection réciproque est l'application

${\displaystyle \{0,1\}^{E}\to {\mathcal {P}}(E),\quad f\mapsto f^{-1}(\{1\})}$,

où f ⁻¹({1}) désigne l'image réciproque par f du singleton {1}, c'est-à-dire la partie de E constituée des éléments x tels que f(x) = 1.

Continuité

Si F est une partie d'un espace topologique E et si la paire {0, 1} est munie de la topologie discrète (qui est la topologie induite par la topologie usuelle de ℝ), l'ensemble des points de E en lesquels la fonction χ_F : E → {0, 1} est discontinue est la frontière de F.

Exemple

E = ℝ et F = ℚ

χ_ℚ : ℝ → {0, 1} est la fonction qui associe 1 à tout rationnel et 0 à tout irrationnel.

La fonction de Dirichlet : ℝ → ℝ est définie de la même manière (autrement dit : sa corestriction à {0, 1} est χ_ℚ).

Dans ℝ, la frontière de ℚ est ℝ (puisque ℚ et ℝ\ℚ sont denses dans ℝ) donc χ_ℚ est discontinue partout.

La fonction de Dirichlet est donc également discontinue partout.

Mesurabilité

Si (E, Ω) est un espace mesurable (c'est-à-dire si Ω est une tribu sur E), une partie de E est un ensemble mesurable (c'est-à-dire appartient à cette tribu) si et seulement si son indicatrice est une fonction mesurable.