Constante d'Hermite

En géométrie des nombres, la constante d'Hermite γ_n, portant le nom du mathématicien Charles Hermite, est définie de la manière suivante pour tout entier n > 0. Étant donné un réseau L, on note λ₁(L) la norme d'un plus court vecteur non nul de L. Alors √γ_n est le maximum de λ₁(L) sur tous les réseaux L de covolume 1 de l'espace euclidien Rⁿ.

La constante d'Hermite est liée à la densité maximale Δ_n d'un empilement régulier d'hypersphères par la relation :

${\displaystyle \gamma _{n}=4\left({\frac {\Delta _{n}}{V_{n}}}\right)^{2/n}}$ où ${\displaystyle V_{n}={\pi ^{n/2} \over \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}$ est le volume de l'hypersphère unité de dimension n, exprimé ici à l'aide de la fonction gamma.

La suite des γ_n est d'ordre de croissance linéaire, mais on ne sait pas si c'est une suite croissante.

Valeurs connues

La valeur exacte de γ_n est connue seulement pour n ≤ 8 et n = 24^[1],[2].

n	1	2	3	4	5	6	7	8	24
γnn	1	4/3	2	4	8	64/3	64	28	424

La valeur ${\displaystyle \gamma _{2}={\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$ est atteinte par le réseau des entiers d'Eisenstein. La valeur ${\displaystyle \gamma _{24}=4}$ est atteinte par le réseau de Leech.

Encadrement

Pour les autres dimensions, on sait encadrer la constante γ_n en fonction du volume V_n de l'hypersphère, en utilisant le théorème de Minkowski pour la majoration et celui de Minkowski-Hlawka (en) pour la minoration^[3] :

${\displaystyle V_{n}^{-2/n}<\left({\frac {2\zeta (n)}{V_{n}}}\right)^{2/n}\leqslant \gamma _{n}\leqslant 4V_{n}^{-2/n}}$.

Le majorant ${\displaystyle 4V_{n}^{-2/n}}$ est inférieur à n pour tout n et équivalent à ${\displaystyle {\frac {2n}{\pi \mathrm {e} }}}$ quand n tend vers l'infini (d'après l'expression ci-dessus de V_n et la formule de Stirling), mais il existe une majoration asymptotique bien plus fine^[4] :

${\displaystyle \gamma _{n}\leq {\frac {1{,}744n}{2\pi \mathrm {e} }}+o(n)}$.

La minoration (valide seulement pour n > 1) implique que ${\displaystyle \gamma _{n}>{\frac {n}{2\pi \mathrm {e} }}}$ pour n assez grand.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hermite constant » (voir la liste des auteurs).

1. Suite  A007361 de l'OEIS.
2. Démonstration pour n = 6, 7 et 8 : (en) N. M. Vetčinkin, « Uniqueness of classes of positive quadratic forms on which values of the Hermite constant are attained for 6 ≤ n ≤ 8 », Proc. Steklov Inst. Math., AMS, vol. 152, n^o 3 (The Geometry of Positive Quadratic Forms),‎ 1983, p. 37-95 (lire en ligne) (publié en russe en 1980), Theorem 1 (Blichfeldt (de)'s theorem).
3. (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, 1973 (lire en ligne), p. 31 et 17.
4. (en) John Horton Conway et Neil Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer, 1999, 3^e éd. (1^re éd. 1993) (lire en ligne), p. 20.

• Portail de la géométrie
• Arithmétique et théorie des nombres