Cercle de Conway

Le cercle de Conway d'un triangle est le cercle passant par les extrémités des segments obtenus en prolongeant chaque côté du triangle, à partir de chaque sommet, d'une longueur égale à la longueur du côté opposé à ce sommet (voir figure).

Cercle de Conway d'un triangle

Démontrer que les six extrémités sont bien cocycliques ne nécessite que des outils de mathématiques élémentaires.

Ce cercle est nommé ainsi en hommage au mathématicien John Horton Conway que l'on voit arborer un T-shirt illustrant cette propriété^[1].

Démonstrations

Existence du cercle de Conway

Démonstration de la propriété du cercle de Conway par les médiatrices

De nombreuses démonstrations sont possibles^[2], celle présentée ici ne fait intervenir que des notions de collège.

Dans la figure ci-contre, les côtés du triangle ABC ont été prolongés de telle sorte que

• AM=AN=BC ;
• BP=BQ=AC ;
• CR=CS=AB.

Par construction, AM=AN. Donc le triangle AMN est isocèle. Donc la bissectrice intérieure de l’angle A est une médiatrice du triangle AMN. Comme bissectrice du triangle ABC, elle passe par ω, le centre de son cercle inscrit. Comme médiatrice du triangle AMN, ses points sont équidistants de M et N, donc : ωM=ωN.

CN=CA+AN=BP+CB=CP. Donc le triangle CNP est isocèle, ce qui permet de conclure de la même façon ωN=ωP.

De proche en proche, en considérant les triangles BPQ, AQR et CRS, également isocèles, on trouve : ωP=ωQ, ωQ=ωR et ωR=ωS. Finalement les six longueurs ωM, ωN, ωP, ωQ, ωR et ωS sont égales, ce qui permet de conclure que les six points M, N, P, Q, R, S sont cocycliques ; c’est le cercle qu’ils forment qu’on désigne sous le nom de cercle de Conway du triangle ABC.

Centre du cercle de Conway

L’égalité, établie à la section précédente, entre les six longueurs ωM, ωN, ωP, ωQ, ωR et ωS, montre que le centre du cercle de Conway est le point ω. Autrement dit : le centre du cercle de Conway d’un triangle est le centre de son cercle inscrit.

Rayon du cercle de Conway

Le rayon R du cercle de Conway se détermine, à l'aide du rayon r du cercle inscrit et du demi-périmètre p du triangle : remarquant que la corde [PS] a pour longueur PB+BC+CS = AC+BC+AB = 2p et se situe à une distance r de ω, l’application du théorème de Pythagore conduit à la formule simple^[3] : ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+p^{2}}}.}$ Exprimé en fonction des côtés ${\displaystyle a,\,b\,{\text{et}}\,c}$ du triangle ABC, le rayon R de son cercle de Conway est donné par la formule^[4] : ${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+ac^{2}+abc}{a+b+c}}}.}$
Dans le cas particulier d’un triangle équilatéral de côtés ${\displaystyle a,}$ le rayon de son cercle de Conway est donné par ${\displaystyle a{\sqrt {\tfrac {7}{3}}}.}$

Lien avec la notion de cercle de Taylor

Le cercle de Taylor du triangle ABC est aussi cercle de Conway du triangle A'B'C'

Le théorème suivant relie la notion de cercle de Conway à celle de cercle de Taylor^[5] :

Théorème — Le cercle de Taylor d'un triangle acutangle est le cercle de Conway du triangle médian de son triangle orthique.

Notations (voir figure ci-contre) : A₁, B₁ et C₁ sont les pieds des hauteurs du triangle ABC (A₁B₁C₁ est le triangle orthique de ABC) ; R et N sont les projetés orthogonaux de B₁ sur BC et AB (donc, par définition, N et R sont sur le cercle de Taylor, et de manière analogue M et Q, et P et S) ; A'B'C' est le triangle médian du triangle A₁B₁C₁ ; B₂ et B₃ sont les symétriques de B₁ par rapport à AB et BC ;

On rappelle que les hauteurs d’un triangle sont les bissectrices de son triangle orthique.

Démonstration

On montre d'abord que les points B₂, C₁ et A₁ sont alignés. En effet : la symétrique par rapport à la droite AB de la droite (C₁B₂) est la droite (C₁B₁) ; la symétrique par rapport à la droite (C₁C) de la droite (C₁B₁) est la droite C₁A₁. Or la composition de deux symétries par rapport à deux axes perpendiculaires (ici AB et CC₁) est la symétrie par rapport leur intersection (ici C₁). Donc les droites (C₁B₂) et (C₁A₁) sont identiques : B₂, C₁ et A₁ sont alignés.

Ceci permet d'établir que

${\displaystyle \mathrm {A'N} ={\frac {1}{2}}\mathrm {C_{1}B_{2}} ={\frac {1}{2}}\mathrm {C_{1}B_{1}=B'C'} .}$

Donc N est sur le cercle de Conway du triangle A'B'C'.

Un raisonnement analogue pour les cinq autres points P, Q, R, S et M permet de conclure.

Construction de Conway dans l'autre sens

On considère un triangle scalène (les trois côtés ont des longueurs deux à deux distinctes). Si à partir de chaque sommet, on reporte la longueur du côté opposé dans l'autre sens, on obtient six points distincts. Il s'avère que ces points déterminent trois droites concourantes dont le point d'intersection est le point de Nagel du triangle^[6] (Voir figure ci-dessous).

En reportant des longueurs multipliées par des coefficients, on obtient une généralisation étudiée par Davis Pouvreau dans son papier « Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway : généralisation et alternative »^[7].

Notes et références

1. (en) Tanya Khovanova (en), « Conway's Circle », sur Tanya Khovanova's Math Blog.
2. Voir par exemple (en) Tanya Khovanova (en), « Conway's Circle », sur Tanya Khovanova's Math Blog ou (en) Stefan Dominte et Tudor-Dimitrie Popescu, « Concyclicities in Tucker-like configurations »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)}, sur AwesomeMath.
3. (en) Darij Grinberg et Eric W. Weisstein, « Conway circle », sur MathWorld
4. On peut développer le calcul à partir de la formule donnant le rayon ${\displaystyle r}$ du cercle inscrit :

   ${\displaystyle r^{2}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$ ${\displaystyle ={\frac {p^{3}-(a+b+c)p^{2}+(ab+bc+ca)p-abc}{p}}}$ ${\displaystyle ={\frac {-p^{3}+p(ab+bc+ca)-abc}{p}}}$ ${\displaystyle =-p^{2}+{\frac {(a+b+c)(ab+bc+ca)-2abc}{a+b+c}},}$

   d’où : ${\displaystyle R^{2}=r^{2}+p^{2}={\frac {a^{2}b+a^{2}c+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+ac^{2}+abc}{a+b+c}}.}$

5. Voir par exemple :

   • Yvonne et René Sortais, La géométrie du triangle, exercices résolus, collection « Formation des enseignants et formation continue, Actualités scientifiques et industrielles 1429, Hermann, 1987, p. 36-41.
   • Yves Ladegaillerie, Géométrie affine, projective, euclidienne et anallagmatique, Éditions ellipses, 2003, (ISBN 2-7298-1416-7), p. 243-244 et 333.
6. (en) Xavier Dussau, « Elementary construction of the Nagel point », HAL,‎ 2020 (lire en ligne)
7. Davis Pouvreau, « Par-delà le théorème de cocyclicité de Conway : généralisation et alternative », Quadrature, n^o 119,‎ 2021, p. 10-22 (lire en ligne)

Lien externe

• (en) Darij Grinberg et Eric W. Weisstein, « Conway circle », sur MathWorld
• Colin Beveridge: Conway’s Circle, a proof without words. The Aperiodical, 07 mai 2020
• Colin Beveridge, Elizabeth A. Williams: Conway’s Circle Theorem: a proof, this time with words. The Aperiodical, 11 juin 2020 (vidéo, 9:12 min.)

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