Centralisateur

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X.

Centralisateur d'un élément

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté C_G(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.

Trois démonstrations

• Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à C_G(x). Si g et h sont deux éléments de C_G(x), alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à C_G(x). Enfin, si g appartient à C_G(x), alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g^-1 à gauche, nous trouvons x = g^-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g^-1 à droite, nous obtenons x g^-1 = g^-1 x, ce qui montre que g^-1 appartient à C_G(x).

• Deuxième démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par Int_G(x) l'automorphisme intérieur ${\displaystyle \ g\mapsto xgx^{-1}}$ de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de Int_G(x) (et revient aussi, évidemment, à dire que x est point fixe de Int_G(g)). Donc C_G(x) est l'ensemble des points fixes de Int_G(x). De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc C_G(x) est un sous-groupe de G.

• Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, C_G(x) est l'ensemble des éléments g de G tels que Int_G(g) admette x pour point fixe. Autrement dit, C_G(x) est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application ${\displaystyle \ G\rightarrow \mathrm {Aut} (G):g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)}$. Cette application ${\displaystyle \ g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)}$ est un homomorphisme de G dans le groupe S_G des permutations de G (c'est même un homomorphisme de G dans Aut(G)) et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de S_G, donc C_G(x) est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G.

La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que C_G(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer :

• Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de C_G(x) dans G.

Centralisateur d'une partie

Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté C_G(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, C_G(X) est égal au centralisateur C_G(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection ${\displaystyle \ \bigcap _{x\in X}C_{G}(x)}$ et il est clair que cette intersection est égale à C_G(X) ; donc C_G(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, C_G(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.

Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G.

Propriétés du centralisateur d'une partie

• Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma :
  • Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans C_G(Y) revient à dire que Y est contenu dans C_G(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y.
  • En particulier, une partie X de G est contenue dans C_G(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux.
  • Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors C_G(Y) est contenu dans C_G(X).
  • Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant C_G(C_G(X)).
  • C_G(C_G(C_G(X))) = C_G(X). Cette équation^[1] peut se reformuler en disant que dans un groupe G, un sous-ensemble H est un centralisateur (i.e. il existe une partie de G dont H est le centralisateur) si et seulement s'il est le centralisateur de C_G(H).
• Si X est une partie d'un groupe G, le centralisateur de X dans G est égal au centralisateur dans G du sous-groupe ⟨X⟩ de G engendré par X.

Justification. Puisque X est contenue dans ⟨X⟩, il résulte de la remarque précédente que C_G(⟨X⟩) est contenu dans C_G(X), que nous noterons Y. Réciproquement, montrons que C_G(⟨X⟩) contient Y. D'après une propriété énoncée plus haut, le sous-groupe C_G(Y) contient X, donc contient ⟨X⟩ (par définition du sous-groupe engendré). En réutilisant la même propriété, ceci revient à dire que C_G(⟨X⟩) contient Y.

Lemme N/C (ou théorème N/C)^[2] — Soit H un sous-groupe d'un groupe G. Le centralisateur C_G(H) est un sous-groupe normal du normalisateur N_G(H) et le groupe quotient N_G(H)/C_G(H) est isomorphe à un sous-groupe de Aut(H).

Justification. Il est clair que si c est un élément de C = C_G(H), alors c H c^-1 = H, donc c appartient à N = N_G(H), ce qui montre que C est sous-groupe de N. D'autre part, puisque H est normal dans N, tout automorphisme intérieur Int_N(n) de N (avec n dans N) induit un automorphisme (non forcément intérieur) Int_N(n)_|H de H. L'application ${\displaystyle \ n\mapsto \mathrm {Int} _{N}(n)_{|H}}$ est un homomorphisme de N dans Aut(H) et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est C. Donc C est sous-groupe normal de N et, d'après le premier théorème d'isomorphisme, N/C est isomorphe à l'image de cet homomorphisme, image qui est un sous-groupe de Aut(H).

Grâce au lemme N/C, la structure interne d'un sous-groupe H de G peut fournir des renseignements sur N_G(H)/C_G(H). On montre ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini non trivial, si p est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors N_G(P)/C_G(P) = 1, autrement dit N_G(P) est réduit à C_G(P), de sorte que les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que P admet un complément normal dans G^[3].

• Soit X une partie de G. Le normalisateur de X dans G est par définition^[4] l'ensemble des éléments g de G tels que g X g^-1 = X. On vérifie facilement que si h est un élément de G tel que ${\displaystyle \ hXh^{-1}\subseteq X,}$ et c un élément de C_G(X), alors h^-1 c h appartient lui aussi à C_G(X). On en tire en particulier que C_G(X) est sous-groupe normal de N_G(X), ce qui, dans le cas où X est un sous-groupe de G, a été démontré autrement au point précédent.

Soient G₁ et G₂ deux groupes, H un sous-groupe de G₁ et f un homomorphisme de G₁ dans G₂. On vérifie facilement que ${\displaystyle \ f(C_{G_{1}}(H))\subseteq C_{G_{2}}(f(H))}$ et que

• si f est un isomorphisme de G₁ sur G₂, alors ${\displaystyle \ f(C_{G_{1}}(H))=C_{G_{2}}(f(H))}$.

En appliquant cela aux automorphismes et aux automorphismes intérieurs d'un groupe G, on en tire que

• le centralisateur d'un sous-groupe caractéristique de G est lui-même caractéristique dans G^[5]

et (ce qu'on peut tirer aussi du lemme N/C) que

• le centralisateur d'un sous-groupe normal de G est lui-même normal dans G^[6].

(On utilise ce dernier fait pour prouver par exemple qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal.)

Notes et références

1. (en) W. R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 52, exerc. 3.2.22 (c).
2. « N/C Lemma » dans (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1995, 4^e éd., p. 156. « N/C Theorem » dans Scott 1987, p. 50.
3. Voir Rotman 1995, dém. du théorème 7.51, p. 197.
4. Définition conforme à (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, Springer, 2004 (lire en ligne), p. 59.
5. Scott 1987, p. 52, exerc. 3.2.18 (b).
6. Scott 1987, p. 52, exerc. 3.2.18 (a).

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