Transformation de Cole-Hopf

La transformation de Cole-Hopf est un changement de variable destiné à transformer certaines équations aux dérivées partielles paraboliques comportant une non-linéarité en une équation de la chaleur et donc d'utiliser les méthodes d'obtention de solutions développées pour ce problème (voir noyau de la chaleur).

Elle a été développée indépendamment pour la résolution de l'équation de Burgers par Julian Cole^[1] et par Eberhard Hopf^[2].

La transformation

L'équation de Burgers portant sur la vitesse d'un fluide ${\displaystyle u(x,t)}$ en une dimension d'espace ${\displaystyle x}$ s'écrit :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nu {\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {u^{2}}{2}}\right)}$

où ${\displaystyle \nu }$ est la viscosité cinématique.

On introduit la fonction^[3] :

${\displaystyle \phi (x,t)=\exp {\left\{-{\frac {1}{2\nu }}\int udx\right\}}\quad \Leftrightarrow \quad u=-{\frac {2\nu }{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

En introduisant cette quantité dans l'équation de Burgers il vient :

${\displaystyle -2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(2\nu ^{2}{\frac {1}{\phi }}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}\right)}$

On intègre chaque membre en redéfinissant  ${\displaystyle \phi \to \phi \exp {\left\{-\int Cdt\right\}}}$  où  ${\displaystyle C(t)}$  est une constante d'intégration et on obtient ainsi l'équation de la chaleur :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}}$

Applications et généralisations

La méthode a été appliquée également à l'équation de Korteweg–de Vries^[4].

La transformation a également été généralisée en utilisant un coefficient variable afin d'étendre son utilisation aux équations non-linéaires paraboliques et hyperboliques exactement linéarisables^[5]. Cela concerne les équations modèles de système de réaction-diffusion ou de turbulence tels que celui proposé par Burgers^[6].

Références

1. (en) Julian D. Cole, « On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics », Quarterly of Applied Mathematics, vol. 9, n^o 3,‎ 1951, p. 225–236 (ISSN 0033-569X, DOI 10.1090/qam/42889 , lire en ligne)
2. (en) Eberhard Hopf, « The partial differential equation ut + uux = μxx », Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 3, n^o 3,‎ 1950, p. 201–230 (DOI 10.1002/cpa.3160030302, lire en ligne)
3. (en) David Bilodeau, « Cole-Hopf Transformation », sur Université McGill
4. (en) A. H. Salas et Gómez S., « Application of the Cole-Hopf Transformation for Finding Exact Solutions to Several Forms of the Seventh-Order KdV Equation », Mathematical Problems in Engineering, vol. 2010, n^o ID 194329,‎ 2010 (lire en ligne)
5. (en) P.L. Sachdev, « A generalised Cole-Hopf transformation for nonlinear parabolic and hyperbolic equations », Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), vol. 29, n^o 6,‎ 1978, p. 9693-970 (lire en ligne)
6. Garrett Neske, « Burgers Turbulence », sur Wolfram Demonstration Projects

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