théorème sur les courbes algébriques De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En théorie des nombres, le théorème de Faltings, précédemment connu sous le nom de conjecture de Mordell donne des résultats sur le nombre de solutions d'une équation diophantienne. Il a été conjecturé par le mathématicien anglais Louis Mordell en 1922 et démontré par Gerd Faltings en 1983, soit environ soixante ans après que la conjecture fut posée.
Soit l'équation définie de la manière suivante:
avec P un polynôme à coefficientsrationnels. Le problème est de trouver le nombre X de solutions de cette équation dans l'ensemble des rationnels.
Le nombre de solutions dépend du genre de la courbeC associée à cette équation (on peut définir empiriquement le genre d'une courbe comme le nombre de fois où il est possible de couper cette courbe sans obtenir deux morceaux distincts):
si le genre vaut 0 (cas des courbes unicursales, par exemple une droite), alors:
si le genre est supérieur ou égal à 2, Mordell avait conjecturé qu'il n'y avait qu'un nombre fini de points. Ceci fut effectivement démontré par Gerd Faltings en 1983.
dont on cherche les solutions entières. Si est une solution avec non nul, alors est une solution à coordonnées rationnelles de l'équation
Elle correspond à une courbe de genre . Ainsi, pour supérieur ou égal à 4, elle est de genre supérieur ou égal à 2, et n'admet donc qu'un nombre fini de solutions rationnelles. On sait borner le nombre de solutions, mais pas encore leur taille. Cette approche pour démontrer le dernier théorème de Fermat, alternative à celle suivie par Andrew Wiles, n'a donc pas encore abouti; au demeurant, elle ne permettrait (en théorie) qu'une démonstration constructive pour chaque valeur de n donnée, mais non en général.
Après Faltings, le théorème a été démontré d'une autre manière par Paul Vojta[5]. La preuve de Vojta a été simplifiée par Faltings[6] lui-même et par Enrico Bombieri[7]. Des présentations sont données dans le livre de Bombieri et Gubler[8], et dans celui de Serge Lang[9].
Une nouvelle démonstration est donnée par Brian Lawrence et Akshay Venkatesh en 2018. La preuve suit la démarche de Faltings, mais utilise l'analyse de la variation de représentations galoisiennes p-adiques[13].
Par le théorème de Mordell-Weil, le théorème de Faltings peut être reformulé comme un énoncé sur l'intersection d'une courbe C avec un sous-groupe de type fini Γ d'une variété abélienneA. Une généralisation consiste à remplacer C par une sous-variété arbitraire de A et Γ par un sous-groupe arbitraire de A de rang fini; ceci conduit à la conjecture de Mordell-Lang(en) qui a été démontrée par Faltings en 1991[14],[15].
Une autre généralisation en dimension supérieure est la conjecture de Bombieri-Lang(en) selon laquelle, si X est une variété «pseudo-canonique» (c'est-à-dire une variété générale) sur un corps de nombres k, alors X(k) n'est pas dense dans X au sens de la topologie de Zariski. Des conjectures encore plus générales ont été énoncées par Paul Vojta.
Pierre Deligne, «Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch», Séminaire Bourbaki, 36e année, 1983/84, Exposé 616, novembre 1983; Astérisque, t.121-122, , p.25-41 (zbMATH0591.14026, lire en ligne)
Gerd Faltings et Gisbert Wüstholz (éditeurs), Rational points: Papers from the seminar held at the Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn, 1983/1984., Braunschweig-Wiesbaden, Friedr. Vieweg & Sohn, coll.«Aspects of Mathematics» (noE6), , vi+268 (ISBN3-528-08593-2, MR766568, zbMATH0588.14027).
Enrico Bombieri, «The Mordell conjecture revisited», Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci., vol.17, no4, , p.615–640 (MR1093712, lire en ligne)
Robert F. Coleman, «Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields», L'Enseignement Mathématique. Revue Internationale. IIe Série, vol.36, no3, , p.393–427 (ISSN0013-8584, MR1096426, lire en ligne)
Gary Cornell et Joseph Hillel Silverman (éditeurs), Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984, New York, Springer-Verlag, (ISBN0-387-96311-1, DOI10.1007/978-1-4613-8655-1, MR861969) — Contient la traduction en anglais de l'article (Faltings 1983)
(en) Gerd Faltings «The general case of S. Lang's conjecture» (MR1307396) — «(ibid.)», dans Valentino Cristante et William Messing (éds.), Barsotti Symposium in Algebraic Geometry. Papers from the symposium held in Abano Terme, June 24–27, 1991., San Diego, CA, Academic Press, Inc., coll.«Perspectives in Mathematics», (ISBN0-12-197270-4)
(ru) Yuri I. Manin, «Rational points on algebraic curves over function fields», Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya, vol.27, , p.1395–1440 (ISSN0373-2436, MR0157971, lire en ligne) — Traduction anglaise: Yuri I. Manin, «Rational points on algebraic curves over function fields», American Mathematical Society Translations: Series 2, vol.59, , p.189–234 (ISSN0065-9290).
Louis Mordell, «On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees», Proc. Cambridge Philos. Soc., vol.21, , p.179–192
Alexei N. Parshin, «Quelques conjectures de finitude en géométrie diophantienne», dans Actes du Congrès International des Mathématiciens, vol.Tome 1, Nice, Gauthier-Villars, (MR0427323, lire en ligne[archive du ]), p.467–471