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En mathématiques combinatoires, une q-exponentielle est un q-analogue de la fonction exponentielle, à savoir la fonction propre d'un opérateur de q-dérivation. Il existe de nombreuses q-dérivées, par exemple la q-dérivée classique, l'opérateur d'Askey-Wilson, etc. Par conséquent, contrairement à l'exponentielle classique, les q-exponentielles ne sont pas uniques. Par exemple, est la q-exponentielle correspondant à la q-dérivée classique tandis que sont des fonctions propres des opérateurs d'Askey-Wilson.
La q-exponentielle est également connue sous le nom de dilogarithme quantique[1],[2].
La q-exponentielle correspondant à la q-dérivée classique est définie par
où est la q-factorielle et
est le q-symbole de Pochhammer. Qu'il s'agisse du q-analogue de l'exponentielle découle de la propriété
où la dérivée dans le membre de gauche est la q-dérivée. Ce qui précède est facilement vérifié en considérant la q-dérivée du monôme
où ici, est le q-symbole de Pochhammer. Pour d'autres définitions de la fonction q-exponentielle, voir Exton (1983), Ismail & Zhang (1994) et Cieśliński (2011) .
Pour tout réel , la fonction est une fonction entière de . Pour , est régulière sur le disque .
La fonction et son inverse sont liées par .
L'analogue de la relation n'est pas réalisée pas pour et réels . Cependant, s'il s'agit d'opérateurs satisfaisant la relation de commutation , alors la relation est exacte[3].
Pour , une fonction étroitement liée est C'est un cas particulier des séries hypergéométriques basiques,
Il vient naturellement :
a la représentation en produit infini suivante :
Comme d'autre part, , pour ,
En prenant la limite lorsque ,
où est le dilogarithme.
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