Plan euclidien

En mathématiques élémentaires, un plan est identifiable^[1] à l'espace affine euclidien dont l'ensemble sous-jacent est le produit cartésien de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, l'ensemble des nombres réels, par lui-même, soit

${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ~et~y\in \mathbb {R} \}}$. C'est la raison pour laquelle on dit par abus de langage LE plan euclidien.

Cercle dessiné dans un plan euclidien (Ox, Oy).

Le plan euclidien

Topologie concepts de base illustrations

Les applications ${\displaystyle +,.{\text{ et }}(.|.)}$de ${\displaystyle {\Bigl (}\mathbb {R} ^{2},+,.,(.|.){\Bigr )}}$sont définies par

${\displaystyle +:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},((x,y),(x',y'))\mapsto (x+x',y+y')}$;

${\displaystyle .:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},(\lambda ,(x,y))\mapsto (\lambda x,\lambda y)}$;

${\displaystyle (.|.):\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ;{\Bigl (}(x,y),(x',y'){\Bigr )}\mapsto xx'+yy'} .

Le produit scalaire permet de définir la structure topologique d'espace métrique du plan euclidien.

Attracteur de deux similitudes ${\displaystyle z'={\frac {(4+i)z+4}{10}}}$ et ${\displaystyle z'={\frac {(4+7i){\bar {z}}+5-2i}{10}}}$ dans le plan euclidien(géométrie fractale élémentaire)

Ce plan est identifié au plan complexe; où l'on a défini en plus

${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2},{\Bigl (}(x,y),(x',y'){\Bigr )}\mapsto (xx'-yy',xy'+yx')} .

Un repère orthonormé de ce plan est constitué d'un point origine et de deux vecteurs orthogonaux de norme 1. Il est utilisé par exemple pour la représentation graphique de courbes planes.

Historique

Le développement rapide de la géométrie analytique, notamment dès le 17è siècle grâce à Descartes et Pierre de Fermat, a peu à peu convaincu de la possibilité de substituer un espace affine par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{4},...}$ Par ailleurs, le développement de la géométrie projective au 19è siècle a permis de comprendre la raison profonde de ces identifications^[1],[2].

Notes et références

1. Jean Frenkel, Géométrie pour l'élève professeur, Paris, Hermann, 1973, p. 13
2. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, Paris, 1964, Annexe II

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