Système de fonctions itérées

En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système^[1].

Attracteur de deux similitudes ${\displaystyle z'={\frac {(4+i)z+4}{10}}}$ et ${\displaystyle z'={\frac {(4+7i){\bar {z}}+5-2i}{10}}}$.

La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980^[2]. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.

Définition

Un SFI est une famille S de N fonctions contractantes ${\displaystyle T_{i}:M\to M}$ dans un espace métrique complet M^[3],[4].

On définit à partir des T_i une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur ${\displaystyle ({\mathcal {H}}(M),h)}$, l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression ${\displaystyle T(A)=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(A)}$, appelée opérateur de Hutchinson de S^[2].

${\displaystyle ({\mathcal {H}}(M),h)}$ est un espace métrique complet^[5].

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble F de M fixe par T.

F est appelé attracteur du SFI et noté |S|.

Remarques

• En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K^[6]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers |S|. C'est de là que vient le terme d'itéré^[7].
• La plupart des fonctions des SFI classiques sont des fonctions affines^[8],[9],[7].
• On appelle flammes fractales des fractales obtenues par des fonctions non linéaires^[10].

Flamme fractale.

Exemple

Considérons les deux homothéties définies sur ${\displaystyle {\mathbb {R}}}$ par ${\displaystyle f_{1}(x)={\frac {x}{3}},f_{2}(x)={\frac {x+2}{3}}}$. Les deux ont pour rapport ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$. La première a pour centre ${\displaystyle 0}$ et la deuxième ${\displaystyle 1}$. ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}}$, l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}=f_{1}({\mathbb {K}}_{3})\cup f_{2}({\mathbb {K}}_{3})}$. La famille de contractions est ici ${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}}$ et ${\displaystyle {\mathbb {K}}_{3}}$ en est l'attracteur^[11],[12].

Caractère d’auto similarité

le triangle de Sierpinski, forme de fractale en triangle obtenu à partir d'un seul triangle.

En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(ℝⁿ) des compacts non vides de ℝⁿ, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, F est lui-même un espace compact non vide de ℝⁿ, c'est-à-dire un fermé borné. Il doit aussi être précisé en quoi F est une fractale. En réécrivant l'égalité T(F) = F, est obtenu : ${\displaystyle F=\bigcup _{i=1}^{N}T_{i}(F)}$. C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski^[13]...). Le caractère d'autosimilarité est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980^[2].

Géométrie des attracteurs

Soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=|\{f_{1},f_{2}\}|}$ un attracteur, où les ${\displaystyle f_{i}}$ sont injectives, et ${\displaystyle K}$ un compact.

(i) On suppose que ${\displaystyle f_{1}(K)\cup f_{2}(K)\subset K{\text{ et }}f_{1}(K)\cap f_{2}(K)=\varnothing }$ . Alors ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est totalement discontinu.

(ii) On suppose que ${\displaystyle f_{1}(K)\cup f_{2}(K)\subset K{\text{ et }}f_{1}(K)\cap f_{2}(K)\neq \varnothing }$. Alors ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est connexe^[6].

Par exemple, l'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu.

Dimension de la fractale

De la construction du SFI, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application T_i est contractante de rapport k_i, et que T_i(|S|) est disjoint de T_j(|S|), pour tous i, j ≤ N distincts, alors la dimension de S est le réel d vérifiant :${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}k_{i}^{d}=1.}$

Une riche source de fractales

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant^[14] :

Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f : X → Y continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors

1. pour tout compact non vide B de X, f ^–1(B) est un compact non vide de X et l'on peut donc définir une application W : H(X) → H(X) par W(B) = f ^–1(B)
2. W possède un point fixe A donné par

${\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow +\infty }W^{n}(X)=\lim _{n\rightarrow +\infty }\underbrace {W\circ W\circ ...\circ W} _{n}(X).}$

On a aussi ${\displaystyle A=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }f^{-n}(X).}$

Exemples

• Le cas f(z) = z² fournit le disque unité.

représentation de l'ensemble de Julia (c=-1) avec turtle(python)^[15]

• Le cas f(z) = z² – 1 fournit l'ensemble de Julia associé, noté^[16] J_–1. On peut prendre pour X le carré de centre 0 et de côté 4.

• On a^[14], de façon générale, ${\displaystyle A=\left\{x\in X\mid \forall n=0,1,2...f^{n}(x)\in X\right\}}$. Autrement dit, A est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de X, où l'on appelle^[6] orbite d'un point ${\displaystyle x\in X}$ la suite (x, f(x), f²(x), ...).

Exemples d'attracteurs classiques

La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines.

• L'ensemble de Cantor

• Le tapis de Sierpiński, défini par 8 similitudes de rapports 1/3.
• La fougère de Barnsley, construite à partir de quatre contractions affines (rouge, bleu, cyan et vert sur l'illustration).
• La courbe de Takagi, attracteur d'une paire de contractions affines qui sont des composées de transvection avec une homothétie de rapport 1/2^[17].
• La courbe de Koch et la courbe de Cesaro.
• L'escalier du diable^[18]
• La courbe de Hilbert^[19].
• La courbe de Lévy
• La courbe du dragon
• L'éponge de Menger
• Un arbre fractal^[20]