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En mathématiques, un système de fonctions itérées (SFI ou encore IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est un outil pour construire des fractales. Plus précisément, l'attracteur d'un système de fonctions itérées est une forme fractale autosimilaire faite de la réunion de copies d'elle-même, chaque copie étant obtenue en transformant l'une d'elles par une fonction du système[1].
La théorie a été formulée lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980[2]. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé d'un SFI.
Un SFI est une famille S de N fonctions contractantes dans un espace métrique complet M[3],[4].
On définit à partir des Ti une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur , l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression , appelée opérateur de Hutchinson de S[2].
est un espace métrique complet[5].
Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble F de M fixe par T.
F est appelé attracteur du SFI et noté |S|.
Considérons les deux homothéties définies sur par . Les deux ont pour rapport . La première a pour centre et la deuxième . , l'ensemble triadique de Cantor vérifie alors . La famille de contractions est ici et en est l'attracteur[11],[12].
En reprenant les notations précédentes, il doit être précisé que l'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(ℝn) des compacts non vides de ℝn, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, F est lui-même un espace compact non vide de ℝn, c'est-à-dire un fermé borné. Il doit aussi être précisé en quoi F est une fractale. En réécrivant l'égalité T(F) = F, est obtenu : . C'est l'égalité qui traduit l'intuition obtenue en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski[13]...). Le caractère d'autosimilarité est ici parfaitement définissable mathématiquement, et au moins exploitable dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980[2].
Soit un attracteur, où les sont injectives, et un compact.
(i) On suppose que . Alors est totalement discontinu.
(ii) On suppose que . Alors est connexe[6].
Par exemple, l'ensemble triadique de Cantor est totalement discontinu.
De la construction du SFI, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application Ti est contractante de rapport ki, et que Ti(|S|) est disjoint de Tj(|S|), pour tous i, j ≤ N distincts, alors la dimension de S est le réel d vérifiant :
C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant[14] :
Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f : X → Y continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors
On a aussi
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