Un nombre univers est un nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder les caractères d'un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas, par exemple, dans tout format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir, y compris celui de l'histoire de votre vie passée et future.
Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information: ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.
Une suite univers en base dix est une suite de chiffres (de 0 à 9) telle que toute suite finie de chiffres apparait comme sous-suite formée de termes consécutifs (que nous désignerons par le vocable «séquence»).
Un nombre univers en base dix est un réel dont la suite des décimales est une suite univers.
Ces définitions peuvent se donner dans une base quelconque, en particulier en base 2.
La notion et l'appellation ont été introduites en 1996 par J.P. Delahaye[1]. Ce même auteur a utilisé l'appellation «nombre universel» dans un article de 2018 [2] et un autre de 2022 [3]. Les traductions littérales de l'anglais seraient «nombre riche» ou «nombre disjonctif»[4].
Le résultat suivant[4] fournit nombre d'exemples de suites univers, et donc de nombres univers: Si est une suite strictement croissante d'entiers telle que , alors pour tout entier positif et toute base, il existe un dont l'expression dans la base commence par l'expression de dans la base . Par conséquent, la suite obtenue en énumérant successivement les chiffres en base des est une suite univers en base , et fournit en même temps un nombre univers.
Pour , on obtient le nombre , voir la suite A001191 de l'OEIS
Plus généralement, on peut prendre comme la partie entière d'une suite polynomiale positive, par exemple
La suite des nombres premiers vérifie aussi la propriété puisque ; on obtient alors la constante de Copeland-Erdős
Les nombres donnés en exemples précédemment vérifient une propriété plus forte que celle d'être des nombres univers: ce sont des nombres normaux; non seulement chaque séquence apparait dans le développement, mais elle apparait une infinité de fois selon une statistique équirépartie.
Un exemple de nombre univers en base dix mais qui n'est pas normal est donné par le nombre obtenu en intercalant "k" 0 après chaque entier de "k" chiffres: la fréquence des 0 (1/2+1/20) y est supérieure à celle des autres chiffres (1/20).
Si la suite vérifie la loi de Benford en toute base, alors de nouveau pour tout entier positif et toute base, il existe un dont l'expression dans la base commence par l'expression de dans la base (la propriété de Benford, plus forte, indiquant en particulier que l'entier a une fréquence d'apparition non nulle); Ceci permet d'avoir des exemples de suite fournissant un nombre univers et ne vérifiant pas :
On pense que les constantes irrationnelles qui sont définies par des propriétés ne faisant pas intervenir leurs décimales, comme , √2 et tous les nombres algébriques irrationnels sont des nombres normaux[6] en toute base, et donc des nombres univers, mais on ne sait le prouver pour aucune.
Bien qu'on ne connaisse pas de nombre univers en toute base, on sait que leur ensemble "remplit" l'ensemble des réels, à la fois au sens de la mesure de Lebesgue et au sens de Baire. En effet, son complémentaire est σ-poreux, donc à la fois négligeable et maigre[7].
David Gale 1998 (référencé ci-dessous) donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.
En dépit des remarques précécentes, il est facile de construire un ensemble de nombres non univers en base dix en bijection avec l'ensemble des réels: on associe à chaque réel le réel , qui ne contient évidemment pas dans ses décimales la suite "11", par exemple; mais l'ensemble de ces nombres reste maigre et négligeable.
Jean-Paul Delahaye, «Les nombres univers», Pour la science, no225, , p.104-107 (lire en ligne), republié sous le titre «Les nombres-univers jouent aux combinaisons», Jeux mathématiques et mathématiques des jeux, , p.51-56
(en) David Gale, Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations, , p.42-43