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nombre réel tel que, quelle que soit la base de numération choisie pour l'écrire, en recherchant une séquence finie de chiffres dans son développement, on a autant de chance de la trouver que n'importe laquelle des séquences de même longueur De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, un nombre normal en base dix est un nombre réel tel que dans la suite de ses décimales, toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence, ou encore plage) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur[1]. Par exemple, la séquence 1789 y apparaît avec une fréquence limite 1/10 000. Émile Borel les a ainsi nommés lors de sa démonstration du fait que presque tout réel possède cette propriété.
Notons l'ensemble des chiffres en base , et soit un nombre réel. Si est une suite finie d'éléments de , notons le nombre d'apparitions de la suite parmi les premiers chiffres après la virgule du développement propre de en base . Le nombre est dit :
Le concept de nombre normal a été introduit par Émile Borel en 1909[7]. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontre le « théorème des nombres normaux » : presque tous les nombres réels sont absolument normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non absolument normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue).
Théorème — Dans , presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue) est absolument normal.
Des liens existent entre nombres normaux et automates finis. Ainsi, on a
Théorème — Un nombre réel est normal dans une certaine base entière si et seulement si son développement dans cette base est incompressible par un automate de compression sans perte[23].
Dans ce contexte, un automate de compression sans perte est un automate déterministe avec sorties (donc un transducteur fonctionnel) injectif.
Un corollaire est le théorème suivant, dû à V. N. Agafonov et datant de 1968 :
Théorème d'Agafonov[24],[25] — Une suite infinie sur l'alphabet binaire A est normale sur A (si et) seulement si toute sous-suite sélectionnée par un automate fini est elle-même normale sur .
Ce théorème a été redémontré indépendamment vingt ans plus tard[26], puis généralisé en 1992 à des alphabets arbitraires[27],[23].
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