Nombre de Carmichael
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En théorie des nombres, un nombre de Carmichael (portant le nom du mathématicien américain Robert Daniel Carmichael), ou nombre absolument pseudo-premier, ou encore nombre pseudo-premier absolu[1], est un nombre composé qui vérifie la propriété suivante, satisfaite par tous les nombres premiers d'après le petit théorème de Fermat :
- pour tout entier premier avec , est un diviseur de .
C'est donc un nombre pseudo-premier de Fermat en toute base première avec lui (on peut d'ailleurs se restreindre aux entiers de 2 à dans cette définition).
D'après le lemme de Gauss, cette propriété équivaut à que pour tout entier premier avec , soit un diviseur de . Mais l'étude des nombres de Carmichael permet de montrer que ce sont aussi les nombres composés vérifiant :
ce qui correspond, pour les nombres premiers , à un autre énoncé du petit théorème de Fermat.
Le plus petit nombre de Carmichael est 561, et en 1994, Alford, Granville et Pomerance démontrent qu'il existe une infinité de nombres de Carmichael[2]; voir la suite A002997 de l'OEIS.