Liste de spirales mathématiques

Cette liste de spirales mathématiques inventorie les noms, les images et quelques propriétés de spirales définies en mathématiques et dessinées en dimension deux ou trois.

Spirales du plan

Image	Nom	Équation	Année	Commentaires
	Cercle	Équation polaire : ${\displaystyle \rho =R}$		Spirale triviale
	Spirale d'Archimède	Équation polaire : ${\displaystyle \rho =a+b\cdot \theta \quad ,\quad \theta >0}$	Vers -300	Étudiée par Archimède puis Pappus[1]. Courbe ayant une origine, pas de fin et des spires régulièrement espacées
	Spirale de Fermat	Équation polaire : ${\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\theta ,\quad \theta >0}$	1636[2]	Étudiée par Pierre de Fermat[2]. Deux branches infinies symétriques.
	Spirale hyperbolique	Équation polaire : ${\displaystyle \rho ={\frac {a}{\theta }},\quad \theta \neq 0}$	1704[3]	Étudiée par Pierre Varignon[3]. Deux branches infinies symétriques. Un point et une droite asymptotes.
	Lituus	Équation polaire : ${\displaystyle \rho ^{2}\theta =a^{2},\quad \theta >0}$	1722[4]	Étudiée par Roger Cotes[4]. Dessinée ci-contre pour ρ positif. Le point O et la droite (Ox) sont asymptotes.
	Spirale de Galilée	Équation polaire : ${\displaystyle \rho =a-b\theta ^{2}}$	1636[2]	Étudiée par Fermat pour un problème posé par Galilée[2].
	Spirale logarithmique	Équation polaire : ${\displaystyle a\mathrm {e} ^{b\theta }}$	1638[5]	Première mention chez René Descartes, puis étudiée par Marin Mersenne,John Wallis et Jacques Bernoulli. Une branche infinie, un point asymptote. Appelée spirale équiangle et spira mirabilis pour ces nombreuses propriétés géométriques.
	Spirale d'or	Équation polaire : ${\displaystyle \rho =a\varphi ^{{\frac {2}{\pi }}\theta }}$ où φ est le nombre d'or		Cas particulier de spirale logarithmique.
	Développante du cercle	Équations paramétrées: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=r(\cos {t}+t\,\sin {t})\\y(t)=r(\sin {t}-t\,\cos {t}).\end{cases}}}$	1693[6]	Étudiée par Christian Huygens[6].
	Clothoïde	Équations paramétrées[7]: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=\displaystyle \int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{2}}{2a^{2}}}\right)\,\mathrm {d} u\\y(t)=\displaystyle \int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{2}}{2a^{2}}}\right)\,\mathrm {d} u.\end{cases}}}$	1694[8]	Étudiée par Jacques Bernoulli, puis par Leonhard Euler, Augustin Fresnel, Alfred Cornu et Ernesto Cesàro. Porte également le nom de Spirale d'Euler, Spirale de Fresnel et Spirale de Cornu. Deux points asymptotes.
	Spirale de Poinsot de type borné	Équation polaire: ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\cosh(k\theta )}}}$	1834[9]	Étudiée par Louis Poinsot Courbe bornée possédant un point asymptote. Cas particulier de spirale de Cotes
	Spirale de Poinsot de type asymptote	Équation polaire: ${\displaystyle \rho ={\frac {C}{\sinh(k\theta )}}}$	1834	Étudiée par Louis Poinsot[10] Courbe possédant un point et une droite asymptotes. Cas particulier de spirale de Cotes., appelée par Teixeira Spirale de la cosécante hyperbolique[11].
	Spirale tractrice	Équation polaire: ${\displaystyle \theta =\pm \left({\frac {\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}{\rho }}-\mathrm {arccos} {\frac {\rho }{a}}\right)}$ avec ${\displaystyle 0<|\rho |<a}$ .	1707[12]	Étudiée par Varignon et par Cotes[13], baptisée par Teixeira[12]. Courbe dont la tangente polaire[14] est de longueur constante a. C'est aussi une tractoire dont la base est un cercle de rayon a/2 et de distance a/2[12].
	Spirale de Pritch-Atzema	Équations paramétrées[15]: ${\displaystyle {\begin{cases}x(t)={\frac {R}{2}}\left({\frac {\sin t}{t}}-2\cos t-t\sin t\right)\\y(t)={\frac {R}{2}}\left(-{\frac {\cos t}{t}}-2\sin t+t\cos t\right).\end{cases}}}$ où R est le rayon du cercle catacaustique	2011[16]	Courbe dont la caustique en flambeau par réflexion est un cercle: le rayon issu du point noir et se réfléchissant sur la courbe est tangent au cercle rouge.
	Escargot de Pythagore		vers -400	Appelée aussi Spirale de Théodorus qui l'a étudiée. Construit géométriquement les racines carrées de tous les entiers.
	Spirale à centres multiples			Succession d'arcs de cercles jointifs dont les centres sont sur les sommets d'un polygone régulier. Construction préconisée pour le dessin de volutes
	Spirale de Fibonacci			Succcession de quarts de cercle jointifs dont les rayons sont des éléments de la suite de Fibonacci. Bonne approximation d'une spirale d'or.
image	nom	équation	date	commentaires

Spirales et hélices de l'espace

Remarque : dans toute la suite, les équations données en coordonnées sphériques utilisent les notations suivantes

• ρ pour la distance au pôle;
• θ pour la colatitude;
• φ pour la longitude.

Image	Nom	Équation	Année	Commentaires
	Hélice circulaire	Équations paramétrées: ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(t)&=a\cos(t)\\y(t)&=a\epsilon \sin(t)\\z(t)&=bt\end{aligned}}\right.}$	vers 300	Étudiée par Pappus d'Alexandrie et Appolonius[17]. Les tangentes font un angle constant avec les directrices.
	Hélice conique	Équations sphériques: ${\displaystyle {\begin{cases}\rho =a\mathrm {e} ^{b\varphi }\\\theta =\alpha \end{cases}}.}$ où α est le demi-angle au sommet du cône.	1845[18]	Étudiée par Olry Terquem[18]. Appelée aussi loxodromie conique[19] ou hélice cylindro-conique[20]. Sa projection sur le plan de base est une spirale logarithmique. Ses tangentes font un angle constant avec l'axe du cône.
	Spirale de Pappus conique	Équations sphériques: ${\displaystyle {\begin{cases}\rho =a\varphi \\\theta =\alpha \end{cases}}.}$ où α est le demi-angle au sommet du cône.	vers 300	Étudiée par Pappus, Blaise Pascal et Michel Chasles. Teixeira l'appelle aussi «hélice conique»[21]. Sa projection sur le plan de base est une spirale d'Archimède.
	Spirale de Pappus sphérique	Équations sphériques[22]: ${\displaystyle {\begin{cases}\theta ={\frac {\varphi }{4}}\\\rho =R\end{cases}}.}$	vers 300	Étudiée par Pappus. Cas particulier de clélie avec pour paramètre m=1/4.
	Clélie (spirale)	Équations sphériques[23]: ${\displaystyle {\begin{cases}\theta =m\varphi \\\rho =R\end{cases}}.}$	1728[23]	Étudiée par Luigi Guido Grandi. Parfois appelée spirale (d'Archimède) sphérique[24]. Sa projection sur le plan de base est une rosace[24].
	Loxodromie de la sphère	Équations paramétrées[25]: ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x(t)&=R{\frac {\cos t}{\mathrm {ch} \,kt}}\\y(t)&=R{\frac {\sin t}{\mathrm {ch} \,kt}}\\z(t)&=R\,\mathrm {th} \,kt\end{aligned}}\right.}$ où ch et th sont respectivement les fonctions cosinus hyperbolique et tangente hyperbolique et où ${\displaystyle k=\mathrm {cotan} \,\alpha }$	1537[25]	Courbe étudiée par Pedro Nunes, Simon Stévin et Maupertuis[25] qui fait un angle constant α avec les méridiens. Sa projection sur l'équateur est une spirale de Poinsot bornée[25]
image	nom	équation	date	commentaires

Bibliographie

• Francisco Gomes Teixeira, Traité des Courbes Spéciales Remarquables Planes et Gauches, t. 2, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909

  traduit de l’original en espagnol de 1899, revu et très augmenté. Réédition: dans les Obras sobre Matemática, volume V, 1908–1915; Chelsea Publishing Co, New York, 1971; Éditions Jacques Gabay, Paris, 1995 [lire en ligne].

• Robert Ferréol, « Spirale », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2016

Références

1. Teixeira 1909, p. 59.
2. Teixeira 1909, p. 67.
3. Teixeira 1909, p. 72.
4. Teixeira 1909, p. 74.
5. Teixeira 1909, p. 77.
6. Teixeira 1909, p. 195.
7. Teixeira 1909, p. 103.
8. Article intitulé en latin Invenire curvam, quae ab appenso pondere flectitur in rectam ; h.e. construere curvam aa = sz, dans les Pensées, notes et remarques, n^o CCXVI, de Jacob Bernoulli (1654–1705), initialement publié en 1694, puis de façon plus complète sous le titre Varia posthuma, au numéro XX du second volume de ses œuvres complètes, Opéra, publiées de façon posthume en 1744.
9. Teixeira 1909, p. 86.
10. (pt) Dina dos Santos Tavares, As espirais na Obra de Francisco Gomes Teixeira, Universidade de Aveiro, 2006 (lire en ligne), p. 66
11. Teixeira 1909, p. 89.
12. Robert Ferréol, « Spirale tractrice », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2012
13. Teixeira 1909, p. 90.
14. La tangente polaire est la portion de tangente en M située entre M et l'intersection de la tangente avec la normale à (OM) passant par O.
15. (en) Eric W. Weisstein, « Atzema Spiral », sur MathWorld
16. Yael Pritch, Moshe Ben-Ezra et Shmuel Peleg, « Optics for Omnistereo Imaging », dans Foundations of Image Understanding, 2011 (DOI 10.1007/978-1-4615-1529-6_15, lire en ligne), p. 447-467
17. Teixeira 1909, p. 377.
18. Robert Ferréol, « Hélice conique », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2013
19. Teixeira 1909, p. 394.
20. Teixeira 1909, p. 396.
21. Teixeira 1909, p. 389.
22. Teixeira 1909, p. 343.
23. Teixeira 1909, p. 346.
24. Robert Ferréol, « Clélie », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2022
25. Robert Ferréol, « Loxodromie de la sphère », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2013

Voir aussi

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