Lituus (courbe)

En géométrie, un lituus est une courbe plane d'équation polaire : ${\displaystyle \rho ^{2}\theta =a^{2}.}$ Le nom de «lituus» lui est donné par Roger Cotes dans son Harmonia mensurarum^[1] publié en 1722 en référence à la crosse étrusque de même nom. Cette courbe avait déjà été étudiée par Pierre Varignon en 1704 dans le cadre de son étude générale des spirales d'équation polaire ${\displaystyle \rho ^{m}\theta =a^{m+1}}$ pour m entier positif ou négatif^[2].

Branche positive d'un lituus

Propriétés géométriques

Le lituus est une courbe transcendante qui possède pour asymptotes son axe polaire et son pôle^[3]. Il possède deux branches (pour ρ positif et pour ρ négatif) symétriques par rapport à O.

L'aire du secteur angulaire M₁OM₂ est constante

Pour tout point M situé sur la courbe, on appelle m le point d'intersection du cercle de centre O passant par M avec l'axe polaire. L'aire du secteur angulaire mOM est constant égale à a²/2^[4].

Pour tout point M de la courbe, on appelle T le point d'intersection de la tangente avec la droite passant par O et perpendiculaire à (OM) alors la longueur OT est égale à 2a²/OM. Le lituus est donc une courbe dans laquelle la sous-tangente est inversement proportionnelle au rayon. L'aire du triangle OTM est constante égale au double de l'aire du secteur angulaire mOM^[4].

L'aire balayée par le rayon OM de M_d à M_f est proportionnelle au logarithme du rapport des rayons^[5],[4]: ${\displaystyle A=a^{2}|\ln(\rho _{d}/\rho _{f})|}$

Le rayon de courbure, pour une courbe paramétrée θ, a pour valeur^[3]: ${\displaystyle R=a{\frac {(4\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}{2\theta ^{\frac {3}{2}}(4\theta ^{2}-1)}}}$ et pour une courbe paramétrée par ρ, s'exprime par^[4]: ${\displaystyle R={\frac {\rho (4a^{4}+\rho 4)^{\frac {3}{2}}}{2a^{2}(\rho ^{4}-4a^{4})}}}$ La courbe possède donc un point d'inflexion pour un rayon égal à a√2 et un angle de 1/2 rad.

Son abscisse curviligne est donnée par^[3]: ${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {a}{2\theta }}{\sqrt {\frac {1+4\theta ^{2}}{\theta }}}\mathrm {d} \theta }$ et la rectification de la courbe fait intervenir des intégrales elliptiques de deuxième espèce^[4].

Relation avec d'autres courbes

Le lituus est l'image par une inversion, de pôle O et de cercle de rayon a, de la spirale de Fermat^[3] d'équation polaire ρ² = a²θ.

C'est également la radiale de la clothoïde^[6].

Si on fait rouler le lituus sur l'hyperbole d'équation xy = –2a², son centre se déplace sur l'axe des abscisses^[7]. Cette propriété avait déjà été remarquée par Pierre Varignon en 1704^[2].

Lituus d'équation ρ²θ=1 roulant sur l'hyperbole d'équation xy = –2 dont le centre reste sur l'axe des abscisses.

Notes et références

1. Cotes 1722.
2. Varignon 1704.
3. Mathcurve.
4. Teixeira 1909.
5. Cotes 1722, p. 86.
6. Teixeira 1909, p. 110.
7. Abolghassem Ahmad-Vaziri, « Sur quelsques courbes liées au mouvement d'une courbe plane dans son plan », dans Thèses de l'entre-deux-guerres, 1938 (lire en ligne), p.12.

Bibliographie

• (la) Roger Cotes, Harmonia mensurarum, Robert Smith, 1722 (lire en ligne), Pars Tertia Problème IV scholium p. 85
• Pierre Varignon, « Nouvelle formation des spirales - exemple II », Mémoire de l'académie des sciences de l'Institut de France,‎ avril 1704, p. 94 - 103 (lire en ligne).
• Francisco G. Teixeira, Obras sobre Mathematica : Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, vol. V, Coimbra, Imprensa da Universidade, 1909 (lire en ligne), p. 74-76.
• Robert Ferreol, « Lituus », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables, 2017 (consulté le 2 décembre 2018)

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