Loading AI tools
analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3) De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Un hypercube est, en géométrie, un analogue n-dimensionnel d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). C'est une figure fermée, compacte, convexe constituée de groupes de segments parallèles opposés alignés dans chacune des dimensions de l'espace, à angle droit les uns par rapport aux autres.
Un hypercube n-dimensionnel est aussi appelé un n-cube. Le terme « polytope de mesure » a aussi été utilisé (notamment par Coxeter), mais il est tombé en désuétude. Enfin, le cas particulier du 4-cube est souvent désigné par le terme de tesseract.
Si E est un espace euclidien de dimension n muni d'une base orthonormale, on définit un hypercube unité comme l'hypervolume délimité par les 2n points dans E ayant des coordonnées égales à 0 ou 1 reliés par des segments de droite. Les hypercubes sont les figures obtenues à partir de l'hypercube unité par des similitudes.
Pour représenter un hypercube de dimension n, on procède comme suit :
(Dimension n > 3 : on trace un hypercube de dimension n – 1, on reproduit son image et on lie les points deux à deux.)
En résumé, la construction d'un hypercube se fait par la translation du cube de dimension inférieure selon un axe perpendiculaire aux dimensions de ce cube.
Les hypercubes constituent l'une des trois familles de polytopes réguliers qui sont représentés dans un nombre quelconque de dimensions (les deux autres sont les simplexes et les hyperoctaèdres). Le polytope dual d’un hypercube est un hyperoctaèdre. Le 1-squelette d’un hypercube est un graphe d'hypercube.
Une généralisation du cube aux dimensions n plus grandes que 3 est appelée un hypercube n-dimensionnel ou n-cube. Le tesseract est l'hypercube quadridimensionnel ou 4-cube. C'est un polytope régulier. C'est aussi un cas particulier de parallélotope : un hypercube est un parallélotope droit dont les arêtes sont de même longueur.
Le 4-cube est également appelé tesseract, d'après Charles Howard Hinton.
D'après la formule de Sommerville (voir infra), le tesseract est composé de :
Pour un 4-cube de côté c, on a les mesures suivantes :
Les faces d'un 4-cube sont :
Pour un n-cube de côté c :
En notant Nn,k le nombre de k-cubes sur la frontière d'un n-cube (qui est nul si k < 0 ou k > n et qui vaut 1 si k = n = 0), on a[1] :
Par conséquent[2],
donc
Par exemple, dans un n-cube :
Noms | Graphe | Symbole de Schläfli Coxeter-Dynkin |
Sommets (0-faces) |
Arêtes (1-faces) |
Faces (2-faces) |
Cellules (3-faces) |
(4-faces) | (5-faces) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n-cube | 2n | n 2n–1 | n(n – 1) 2n–3 | n(n – 1)(n – 2)3 2n–4 | n(n – 1)(n – 2)(n – 3)3 2n–7 | etc. | ||
0-cube Point |
1 | |||||||
1-cube Segment |
{} ou {2} |
2 | 1 | |||||
2-cube Carré Tétragone |
{4} |
4 | 4 | 1 | ||||
3-cube Cube Hexaèdre |
{4,3} |
8 | 12 | 6 | 1 | |||
4-cube Tesseract Octachore |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||
5-cube Penteract |
{4,3,3,3} |
32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 |
La formule précédente permet de répondre à la question : dans une grille régulière d'hypercubes, combien de voisins possède un hypercube ? Il y a un voisin pour chaque élément de la frontière, c'est-à-dire, en utilisant la formule du binôme :
On peut vérifier par exemple que chaque carré d'un pavage possède 32 – 1 = 8 voisins, ou que chaque cube d'un empilement régulier de cubes possède 33 – 1 = 26 voisins.
La définition des rotations dans un espace euclidien quelconque passe par l'algèbre linéaire, et leurs propriétés ne se déduisent pas aisément de celles des rotations en dimension 3. On montre cependant que, de même qu'il est possible de faire tourner un cube autour d'une de ses 12 arêtes (ou d'un axe quelconque), on peut faire tourner un tesseract autour d'une de ses 24 faces carrées[3] (ou d'une surface quelconque) et qu'un hypercube 5-dimensionnel peut tourner autour d'un de ses 40 cubes entier, etc.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.