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fibré vectoriel de rang un De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En mathématiques, un fibré en droites est une construction qui décrit une droite attachée en chaque point d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan possède une tangente en chaque point, et si la courbe est suffisamment lisse alors la tangente évolue de manière « continue » lorsqu'on se déplace sur la courbe. De manière plus formelle on peut définir un fibré en droites comme un fibré vectoriel de rang 1[1]. Le langage des fibrés en droites est utilisé en topologie et en géométrie algébrique, mais il apparaît aussi en géométrie différentielle et donc dans les domaines de la physique qui utilisent ces outils, en particulier les théories de jauges[2].
L'intérêt de se focaliser sur les fibrés en droites c'est que dans bien des cas les invariants ou les propriétés de constructions plus élaborées (par exemple, des fibrés vectoriels) se calculent ou s'obtiennent à partir des invariants ou propriétés correspondants sur les fibrés en droites : c'est le principe de décomposition (voir plus bas), qui prend la forme particulière du théorème de Birkhoff–Grothendieck pour les fibrés holomorphes sur le plan projectif complexe[3].
Les fibrés en droites constituent donc les briques de bases de la théorie des fibrés vectoriels.
Un fibré en droites est déterminé par le choix d'une droite, c'est-à-dire d'un espace vectoriel de dimension un, pour chaque point de l'espace considéré, ce choix devant être continu. En général, il s'agit d'un espace vectoriel réel ou complexe. On en donne maintenant la définition complète.
Soit ou , et soit une variété différentielle[4]. Alors un fibré en droites est formellement un couple formé d'une variété différentielle et d'une surjection lisse , satisfaisant les propriétés suivantes :
Le second axiome est appelé « condition de trivialité locale » : il capture l'idée que, si on se restreint à un petit voisinage, le fibré en droites ressemble à un produit cartésien . En particulier, cette propriété implique que l'application d'un fibré en droites est une submersion.
Toute variété algébrique peut être dotée d'au moins deux fibrés en droites (qui ne sont pas nécessairement distincts) : le fibré trivial et le fibré canonique (voir plus bas).
Les sections d'un fibré en droite forment un faisceau, et si on considère l'espace de base comme une variété dotée d'un faisceau structural , les sections d'un fibré sur sont des -modules.
Cette remarque montre que la notion de fibré en droites correspond à celle d'un faisceau inversible en géométrie algébrique, c'est-à-dire un faisceau cohérent localement libre de rang 1[5] : plus précisément, la donnée d'un fibré en droites correspond à un élément de , où est le faisceau des fonctions analytiques qui ne s'annulent nulle part (et sont donc inversibles).
Ainsi par exemple les idéaux fractionnaires d'un corps de nombre peuvent être vus comme un faisceau inversible, ou comme un fibré en droites. De même, si l'espace de base est un schéma affine alors les modules projectifs sur de rang 1 sont des faisceaux inversibles, i.e. des fibrés en droites. Le groupe de Picard, utilisé pour classifier les fibrés en droite (voir ci-dessous), est donc une généralisation du groupe de classe.
Pourquoi deux constructions pour une même notion ? Historiquement, la géométrie et la topologie algébrique étudiaient en tant qu'espace topologique ; l'approche moderne consiste à étudier au moyen des fonctions sur , qui est un point de vue dual en quelque sorte. De même, l'objet classique que sont les fibrés en droites, qui ont une description géométrique naturelle, sont étudiés algébriquement (de manière « duale ») au moyen des faisceaux formés par leurs sections.
Les deux situations sont très différentes du point de vue de la topologie. En effet, la ligne réelle privée d'un point est topologiquement (homotopiquement) deux points, alors que le plan complexe privé de l'origine est un cercle.
Les fibrés complexes possèdent une structure souvent plus maniable que les fibrés réels. Par exemple, les classes d'isomorphisme des fibrés en droites complexes forment le groupe de Picard de la variété (la multiplication est donnée par le produit tensoriel, l'inverse par le fibré dual, et l'élément neutre est le fibré trivial).
Le groupe de Picard de la variété définit une notion de degré sur les fibrés en droites ; dans les cas d'intérêt on a et le degré est un entier, qui correspond par exemple à la somme des coefficients des diviseurs correspondants. Le degré constitue un premier moyen de distinguer deux fibrés, mais il existe des invariants plus précis : les classes caractéristiques (voir plus bas).
Deux fibrés en droites au-dessus d'un même espace sont isomorphes s'il existe un difféomorphisme tel que pour tout , on a et que l'application induite est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Tout fibré en droites possède une connexion, et si est une telle connexion alors elle est compatible avec les restrictions : si est un ouvert, alors il existe une unique connexion sur définie par . On peut ainsi définir une notion de transport parallèle.
L'existence de connexions est importante pour la définition des classes caractéristiques, qui permettent de distinguer deux fibrés en droites (ou plus généralement, deux fibrés vectoriels).
Soit un fibré en droites de degré sur une courbe projective non singulière , de genre . On note l'ensemble des sections globales de sur . Cet ensemble possède en fait la structure d'un espace vectoriel, et on note . Alors le théorème de Riemann-Roch montre que :avec le fibré dual et le fibré canonique sur .
Une classe caractéristique est une fonction qui associe à tout fibré sur un représentant d'une classe de la cohomologie de , de manière « naturelle » c'est-à-dire en commutant avec les applications induites sur la cohomologie. Une classe caractéristique peut également s'interpréter comme une obstruction à l'existence de certaines sections[7]. On discute ici les classes caractéristiques que l'on peut construire sur les fibrés en droites, en notant que le principe de décomposition permet d'en étendre la définition à des fibrés vectoriels généraux[8].
Les classes d'équivalence par isomorphisme des fibrés en droite réels sur sont en correspondance avec les éléments du premier groupe de cohomologie , d'après le théorème de Stiefel-Whitney. Il s'agit en réalité d'un isomorphisme de groupes abéliens, qui transporte le produit tensoriel des fibrés sur l'addition cohomologique.
Les classes d'équivalence par isomorphisme des fibrés en droites complexes sur sont paramétrées par la première classe de Chern (qui peut se calculer par exemple en intégrant la courbure de la connexion sur le fibré), qui est en correspondance avec le second groupe de cohomologie . En revanche, la structure complexe de ces fibrés n'est pas capturée par cet invariant : deux fibrés en droites complexes peuvent avoir la même classe de Chern mais deux structures holomorphes distinctes.
Un outil important dans l'étude des fibrés vectoriels, et qui montre l'importance des fibrés en droites, est le principe de décomposition, qui peut s'énoncer ainsi[9] : si est un fibré vectoriel (complexe ou réel) sur , alors il existe un espace et une application de sorte que se décompose en somme de fibrés en droites, et alors est injective[10].
De ce résultat on déduit notamment l'unicité des classes de Chern (dans le cas complexe) ou de Stiefel-Whitney (dans le cas réel). En revanche, le principe de décomposition ne précise pas comme les fibrés en droites sont orientés : ainsi, cet argument ne suffit pas à montrer par exemple l'unicité de la classe d'Euler.
Une conséquence du principe de décomposition est que toutes les classes caractéristiques modulo 2 des fibrés vectoriels complexes s'obtiennent comme des polynômes symétriques en la classe de Chern des fibrés en droites de la décomposition. De même toutes les classes modulo 2 pour les fibrés vectoriels réels s'obtiennent comme polynômes des classes de Steifel-Whitney[11].
On peut obtenir de nouvelles classes caractéristiques en partant d'un fibré en droites réel, et en le complexifiant[13]. Ainsi, si est un fibré en droites réel sur , sa -ème classe de Pontryagin est un représentant défini à partir de la classe de Chern du fibré complexifié, c'est-à-dire par . On saute les classes de Chern impaires, car elles sont une fonction des classes de Stiefel-Whitney et donc n'apportent pas d'information nouvelle. La classe de Pontryagin totale de s'obtient en sommant : .
Parmi les propriétés intéressantes des classes de Pontryagin, on a pour tous fibrés en droites réels sur un même espace que .
Une autre approche pour construire des classes caractéristiques est d'utiliser l'isomorphisme de Thom. On obtient alors la classe d'Euler et de Thom[14],[15], qui correspondent à la suite exacte de Gysin, la classe d'Euler étant obtenue comme la restriction de la classe de Thom à la section nulle du fibré. Pour un fibré en droites cependant, les fibres étant de dimension impaire, la classe d'Euler est nulle[16].
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