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outil pour réaliser le transport parallèle en géométrie différentielle De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En géométrie différentielle, la connexion est un outil pour réaliser le transport parallèle. Il existe plusieurs présentations qui dépendent de l'utilisation faite. Cette notion a été développée au début des années 1920 par Élie Cartan et Hermann Weyl (avec comme cas particulier celle de connexion affine), puis reformulée en 1951 par Charles Ehresmann et Jean-Louis Koszul.
La connexion de Koszul est un opérateur sur des espaces de sections. Elle a été introduite en 1951 par Koszul pour les fibrés vectoriels, et utilisée par Katsumi Nomizu en 1954[1].
Cet opérateur fait correspondre à toute section globale s d'un fibré vectoriel E de base B, et à tout champ de vecteurs X sur B, une section globale notée vérifiant :
La relation de Leibniz démontre que la valeur de en un point b de B ne dépend que des variations de au voisinage de b. La -linéarité implique que cette valeur ne dépend que de . Intuitivement, la notion de connexion a pour but de généraliser aux variétés différentielles la notion de dérivée suivant un vecteur, la quantité pouvant être interprétée comme la dérivée de s dans la direction X.
Les connexions d'Ehresmann sont des généralisations aux fibrés des connexions de Koszul. De façon plus précise, une connexion d'Ehresmann sur E est un sous-fibré régulier H de TE, le fibré tangent de E.
Une métrique riemannienne g de classe sur une variété différentielle M étant donnée, il existe une unique connexion de Koszul ∇ sur , appelée connexion de Levi-Civita vérifiant les deux conditions :
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