Dualité (théorie des catégories)

En théorie des catégories, la dualité est une correspondance entre les propriétés d'une catégorie et les propriétés duales de sa catégorie opposée.

Étant donné un énoncé ${\displaystyle A}$ concernant une catégorie ${\displaystyle C}$, on obtient l'énoncé dual de ${\displaystyle A}$ et noté ${\displaystyle A^{op}}$, qui porte alors sur la catégorie duale ${\displaystyle C^{op}}$, en interchangeant la source et la cible de chaque morphisme ainsi qu'en interchangeant l'ordre de composition de deux morphismes. Le principe de dualité est l'affirmation selon laquelle la valeur de vérité du nouvel énoncé est la même que celle de l'énoncé initial. En d’autres termes, ${\displaystyle A}$ est vraie dans ${\displaystyle C}$ si et seulement si ${\displaystyle A^{op}}$ est vraie dans ${\displaystyle C^{op}}$.

Une autre catégorie ${\displaystyle D}$ est également dite en dualité avec ${\displaystyle C}$, si ${\displaystyle D}$ et ${\displaystyle C^{op}}$ sont équivalentes en tant que catégories.

Dans le cas où ${\displaystyle C}$ et sa duale ${\displaystyle C^{op}}$ sont équivalentes, ${\displaystyle C}$ est dite auto-duale^[1].

Définition formelle

Le langage élémentaire de la théorie des catégories se définit comme un langage de premier ordre de deux sortes, les objets et les morphismes.

Le langage contient aussi les symboles ${\displaystyle \to }$, qui désigne la relation de la source (à gauche de la flèche) et de la cible (à droite) d'un morphisme, et ${\displaystyle \circ }$ désignant la composition pour les morphismes.

Soit ${\displaystyle \sigma }$ une affirmation quelconque exprimée dans ce langage, on forme le dual ${\displaystyle \sigma ^{op}}$ comme suit :

1. Échanger les sources et les cibles. Par exemple, on écrira ${\displaystyle f^{op}\colon B\to A}$ si ${\displaystyle \sigma }$ contient ${\displaystyle f\colon A\to B}$.
2. Intervertir les morphismes dans une composition. Par exemple, si ${\displaystyle \sigma }$ contient ${\displaystyle g\circ f}$, on écrira plutôt ${\displaystyle f^{op}\circ g^{op}}$^{[note 1]}

De manière informelle, cela revient à dire que pour transformer un énoncé en son dual, il suffit d'inverser le sens des flèches et les compositions dans celui ci.

Le principe de dualité est l'observation que ${\displaystyle \sigma }$ est vraie dans ${\displaystyle C}$ si et seulement si ${\displaystyle \sigma ^{op}}$ est vraie dans ${\displaystyle C^{op}}$^[2],[3].

Exemples

Monorphisme et épimorphisme

On se munit d'une catégorie ${\displaystyle C}$ et d'un morphisme ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle C}$ :

Notons ${\displaystyle \sigma }$ l'énoncé suivant : ${\displaystyle \forall g,h\in Hom(C),(f\circ g=f\circ h\Longrightarrow g=h)}$. L'énoncé ${\displaystyle \sigma }$ désigne en fait l'énoncé « ${\displaystyle f}$ est un monomorphisme ».

Alors, l'énoncé ${\displaystyle \sigma ^{op}}$ s'écrit : ${\displaystyle \forall g,h\in Hom(C),(g\circ f^{op}=h\circ f^{op}\Longrightarrow g=h)}$. L'énoncé ${\displaystyle \sigma ^{op}}$ désigne en fait l'énoncé « ${\displaystyle f^{op}}$ est un épimorphisme ».

On dit que les notions de monomorphisme et d'épimorphisme sont duales^[4].

En appliquant le principe de dualité, on constate que ${\displaystyle f}$ est un monomorphisme de ${\displaystyle C}$ si et seulement si son morphisme dual ${\displaystyle f^{op}}$ est un épimorphisme de ${\displaystyle C^{op}}$.

Relation d'ordre

Pour un ensemble ordonné ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ donné, on considère la catégorie ${\displaystyle C_{X,\leqslant }}$ dont l'ensemble des objets est ${\displaystyle X}$, et pour tous ${\displaystyle x,y\in X}$, ${\displaystyle Hom(x,y)}$ contient un unique élément si ${\displaystyle x\leqslant y}$, et aucun sinon^[5].

Un autre exemple est celui de l'inversion des inégalités d'un ordre. Si ${\displaystyle X}$ est un ensemble et ${\displaystyle \leqslant }$ une relation d'ordre sur ${\displaystyle X}$, on peut définir une nouvelle relation ${\displaystyle \preccurlyeq }$ par :

${\displaystyle \forall x,y\in X,(x\preccurlyeq y\Longleftrightarrow y\leqslant x)}$

Alors, ${\displaystyle C_{X,\leqslant }}$ est le dual de ${\displaystyle C_{X,\preccurlyeq }}$. On en déduit donc, par principe de dualité, que ${\displaystyle \preccurlyeq }$ est un ordre sur ${\displaystyle X}$ si et seulement si ${\displaystyle \leqslant }$ en est un.

Autres

• La limite est une notion duale de la colimite.
• La fibration est duale de la cofibration en topologie algébrique et en théorie de l'homotopie. Dans ce contexte, la dualité est souvent appelée dualité d'Eckmann-Hilton.

Voir aussi

• Foncteur adjoint
• Objet dual
• Dualité (mathématiques)
• Catégorie duale
• Carré de pulation

Bibliographie

•  (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• (en) « Dualité (théorie des catégories) », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Saunders Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer, coll. « Graduate texts in mathematics », 2010 (ISBN 978-1-4419-3123-8)
• Steve Awodey, Category theory, Oxford University Press, coll. « Oxford logic guides », 2010 (ISBN 978-0-19-958736-0 et 978-0-19-923718-0)
• Ibrahim Assem, Introduction au langage catégorique, Calvage & Mounet, coll. « Mathématiques en devenir », 2022 (ISBN 978-2-916352-97-8)

Références

1. On notera que ce changement est légal, puisqu'on a auparavant échangé les sources et les cibles. En effet, si on a initialement ${\displaystyle f\colon A\to B}$ et ${\displaystyle g\colon B\to C}$ dans ${\displaystyle \sigma }$ (auquel cas ${\displaystyle g\circ f}$ est bien légal), on aura dans ${\displaystyle \sigma ^{op}}$ ${\displaystyle f\colon B\to A}$ et ${\displaystyle g\colon C\to B}$, et ${\displaystyle f\circ g}$ est bien légal. D'ailleurs, on aussi inversé la source et la cible de ce nouveau morphisme.

1. Jiří Adámek et J. Rosicky, Locally Presentable and Accessible Categories, Cambridge University Press, 1994 (ISBN 978-0-521-42261-1, lire en ligne), p. 62
2. Mac Lane 1978, p. 33
3. Awodey 2010, p. 53-55
4. Assem 2022, p. 10
5. Assem 2022, p. 15

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